Упр.414 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$x^2-(x+1)-(x^2-7x+32)=3$$;
   2) $$(y^3+3y-8)-(5y-y^3+7)=2y^3-2y-15$$.
2. При всех ли натуральных значениях $$n$$ значение выражения $$(n+9)(n+11)-(n+3)(n+5)$$ кратно $$12$$?

1. $$x^2-(x+1)-(x^2-7x+32)=3$$

   Раскроем скобки и приведём подобные:
   $$x^2-x-1-x^2+7x-32=3$$
   $$6x-33=3$$
   $$6x=36$$
   $$x=6$$

2. $$\left(y^3+3y-8\right)-\left(5y-y^3+7\right)=2y^3-2y-15$$

   Раскроем скобки:
   $$y^3+3y-8-5y+y^3-7=2y^3-2y-15$$
   $$2y^3-2y-15=2y^3-2y-15$$
   Получаем верное равенство при любом значении $$y$$.

3. Проверим, кратно ли выражение $$12$$ при любом натуральном $$n$$:
   $$\left(n+9\right)\left(n+11\right)-\left(n+3\right)\left(n+5\right)$$
   $$=n^2+20n+99-\left(n^2+8n+15\right)$$
   $$=12n+84$$
   $$=12\left(n+7\right)$$

   Значит, выражение кратно $$12$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

1) $$x=6$$; 2) $$y$$ — любое число; 3) да, кратно $$12$$ при любом натуральном $$n$$.