Упр.41.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 41.34. Тетрадь стоит 19 р. У покупателя имеются монеты только по 5 р., а у продавца — только по 2 р. Может ли покупатель рассчитаться за тетрадь без дополнительного размена денег? В случае утвердительного ответа определите, какое наименьшее количество монет соответствующего достоинства должны иметь покупатель и продавец. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 41-34 715

Пусть покупатель имеет $$x$$ монет по $$5$$ руб., а продавец — $$y$$ монет по $$2$$ руб. Тогда для расчёта без размена должно выполняться

$$5x-2y=19.$$

Нужно найти наименьшие натуральные $$x$$ и $$y$$, при которых это равенство возможно.

Преобразуем уравнение:

$$5x=19+2y.$$

Правая часть должна делиться на $$5$$. Подберём наименьшее значение $$y$$, при котором $$19+2y$$ кратно $$5$$:

$$19+2y \equiv 0 \pmod{5}.$$

Так как $$19 \equiv 4 \pmod{5}$$, получаем

$$4+2y \equiv 0 \pmod{5},$$

откуда наименьшее подходящее $$y=3$$. Тогда

$$5x=19+2\cdot 3=25,$$

$$x=5.$$

Проверка:

$$5\cdot 5-2\cdot 3=25-6=19.$$

Ответ

Да, может; покупателю нужно иметь $$5$$ монет по $$5$$ руб., а продавцу — $$3$$ монеты по $$2$$ руб.