Упр.41.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 41.31. Докажите тождество:
   1) $$\frac{(xy^{-1}+1)^2}{xy^{-1}-x^{-1}y}\cdot\frac{x^3y^{-3}-1}{x^2y^{-2}+xy^{-1}+1}:\frac{x^3y^{-3}+1}{xy^{-1}+x^{-1}y-1}=1$$
   2) $$\frac{a^{-1}+(b+c)^{-1}}{a^{-1}-(b+c)^{-1}}\cdot\left(1+\left(\frac{2bc}{b^2+c^2-a^2}\right)^{-1}\right)=\frac{(a+b+c)^2}{2bc}$$

1. Преобразуем выражение, заменяя отрицательные степени дробями:

   $$\frac{\left(\frac{x}{y}+1\right)^2}{\frac{x}{y}-\frac{y}{x}} \cdot \frac{\frac{x^3}{y^3}-1}{\frac{x^2}{y^2}+\frac{x}{y}+1} : \frac{\frac{x^3}{y^3}+1}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1}$$

   Приведём каждую дробь к общему виду:

   $$\frac{\left(\frac{x+y}{y}\right)^2}{\frac{x^2-y^2}{xy}} \cdot \frac{\frac{x^3-y^3}{y^3}}{\frac{x^2+xy+y^2}{y^2}} : \frac{\frac{x^3+y^3}{y^3}}{\frac{x^2-xy+y^2}{xy}}$$

   Разложим на множители:

   $$\frac{\frac{(x+y)^2}{y^2}}{\frac{(x-y)(x+y)}{xy}} \cdot \frac{\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{y^3}}{\frac{x^2+xy+y^2}{y^2}} : \frac{\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{y^3}}{\frac{x^2-xy+y^2}{xy}}$$

   Сокращаем:

   $$\frac{(x+y)^2}{y^2}\cdot \frac{xy}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{y^3}\cdot \frac{y^2}{x^2+xy+y^2} : \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{y^3}\cdot \frac{xy}{x^2-xy+y^2}$$

   После сокращения получаем:

   $$\frac{x(x+y)}{y(x-y)}\cdot \frac{(x-y)y^2}{x(x+y)}=1$$

   Значит, тождество верно.

2. Преобразуем выражение:

   $$\frac{a^{-1}+(b+c)^{-1}}{a^{-1}-(b+c)^{-1}} \cdot \left(1+\left(\frac{2bc}{b^2+c^2-a^2}\right)^{-1}\right)$$

   $$= \frac{\frac1a+\frac1{b+c}}{\frac1a-\frac1{b+c}} \cdot \left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)$$

   $$= \frac{b+c+a}{b+c-a} \cdot \frac{a(b+c)}{a(b+c)} \cdot \frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

   $$= \frac{a+b+c}{b+c-a}\cdot \frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}$$

   Разложим разность квадратов:

   $$(b+c)^2-a^2=(b+c-a)(a+b+c)$$

   Тогда

   $$\frac{a+b+c}{b+c-a}\cdot \frac{(b+c-a)(a+b+c)}{2bc} = \frac{(a+b+c)^2}{2bc}$$

   Тождество доказано.

Ответ

1) $$1$$
2) $$\frac{(a+b+c)^2}{2bc}$$