Упр.41.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

1) (xy^(-1)+1)^2/(xy^(-1)-x^(-1) y)·(x^3 y^(-3)-1)/(x^2 y^(-2)+xy^(-1)+1):(x^3 y^(-3)+1)/(xy^(-1)+x^(-1) y-1)=1;
2) (a^(-1)+(b+c)^(-1))/(a^(-1)-(b+c)^(-1) )·(1+(2bc/(b^2+c^2-a^2 ))^(-1) )=(a+b+c)^2/2bc.

Подробный ответ

Преобразуем выражение, заменяя отрицательные степени дробями:
$$ \frac{\left(\frac{x}{y}+1\right)^2}{\frac{x}{y}-\frac{y}{x}} \cdot \frac{\frac{x^3}{y^3}-1}{\frac{x^2}{y^2}+\frac{x}{y}+1} : \frac{\frac{x^3}{y^3}+1}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1} $$
Приведём каждую дробь к общему виду:
$$ \frac{\left(\frac{x+y}{y}\right)^2}{\frac{x^2-y^2}{xy}} \cdot \frac{\frac{x^3-y^3}{y^3}}{\frac{x^2+xy+y^2}{y^2}} : \frac{\frac{x^3+y^3}{y^3}}{\frac{x^2-xy+y^2}{xy}} $$
Разложим на множители:
$$ \frac{\frac{(x+y)^2}{y^2}}{\frac{(x-y)(x+y)}{xy}} \cdot \frac{\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{y^3}}{\frac{x^2+xy+y^2}{y^2}} : \frac{\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{y^3}}{\frac{x^2-xy+y^2}{xy}} $$
Сокращаем:
$$ \frac{(x+y)^2}{y^2}\cdot \frac{xy}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{y^3}\cdot \frac{y^2}{x^2+xy+y^2} : \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{y^3}\cdot \frac{xy}{x^2-xy+y^2} $$
После сокращения получаем:
$$ \frac{x(x+y)}{y(x-y)}\cdot \frac{(x-y)y^2}{x(x+y)}=1 $$
Значит, тождество верно.
Преобразуем выражение:
$$ \frac{a^{-1}+(b+c)^{-1}}{a^{-1}-(b+c)^{-1}} \cdot \left(1+\left(\frac{2bc}{b^2+c^2-a^2}\right)^{-1}\right) $$
$$ = \frac{\frac1a+\frac1{b+c}}{\frac1a-\frac1{b+c}} \cdot \left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) $$
$$ = \frac{b+c+a}{b+c-a} \cdot \frac{a(b+c)}{a(b+c)} \cdot \frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc} $$
$$ = \frac{a+b+c}{b+c-a}\cdot \frac{(b+c)^2-a^2}{2bc} $$
Разложим разность квадратов:
$$ (b+c)^2-a^2=(b+c-a)(a+b+c) $$
Тогда
$$ \frac{a+b+c}{b+c-a}\cdot \frac{(b+c-a)(a+b+c)}{2bc} = \frac{(a+b+c)^2}{2bc} $$
Тождество доказано.