Упр.41.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

1) (a^(-2)+5)/(a^(-4)-6a^(-2)+9) :(a^(-4)-25)/(4a^(-2)-12)-2/(a^(-2)-5);
2) (b^(-1)-(5b^(-1)-36)/(b^(-1)-7))·(2b^(-1)+(2b^(-1))/(b^(-1)-7))^(-1);
3) ((x-1) (x+1)^(-2)-2x(x^2-1)^(-1)+(x+1) (x-1)^(-2))/(8x(x^4-1)^(-1) ).

Подробный ответ

$$\frac{a^{-2}+5}{a^{-4}-6a^{-2}+9}:\frac{a^{-4}-25}{4a^{-2}-12}-\frac{2}{a^{-2}-5}$$
Обозначим $$t=a^{-2}$$. Тогда
$$\frac{t+5}{t^2-6t+9}:\frac{t^2-25}{4t-12}-\frac{2}{t-5}.$$
Разложим на множители:
$$t^2-6t+9=(t-3)^2,\quad t^2-25=(t-5)(t+5),\quad 4t-12=4(t-3).$$
Тогда
$$\frac{t+5}{(t-3)^2}\cdot\frac{4(t-3)}{(t-5)(t+5)}-\frac{2}{t-5} =\frac{4}{(t-3)(t-5)}-\frac{2}{t-5}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{4-2(t-3)}{(t-3)(t-5)}=\frac{10-2t}{(t-3)(t-5)}=-\frac{2(t-5)}{(t-3)(t-5)}=-\frac{2}{t-3}.$$
Возвращаемся к $$t=a^{-2}$$:
$$-\frac{2}{a^{-2}-3}=-\frac{2}{\frac{1}{a^2}-3}=-\frac{2a^2}{1-3a^2}=\frac{2a^2}{3a^2-1}.$$
$$\left(b^{-1}-\frac{5b^{-1}-36}{b^{-1}-7}\right)\cdot\left(2b^{-1}+\frac{2b^{-1}}{b^{-1}-7}\right)^{-1}$$
Преобразуем первую скобку:
$$b^{-1}-\frac{5b^{-1}-36}{b^{-1}-7} =\frac{b^{-1}(b^{-1}-7)-(5b^{-1}-36)}{b^{-1}-7} =\frac{b^{-2}-12b^{-1}+36}{b^{-1}-7} =\frac{(b^{-1}-6)^2}{b^{-1}-7}.$$
Вторую скобку:
$$2b^{-1}+\frac{2b^{-1}}{b^{-1}-7} =\frac{2b^{-1}(b^{-1}-7)+2b^{-1}}{b^{-1}-7} =\frac{2b^{-2}-12b^{-1}}{b^{-1}-7} =\frac{2b^{-1}(b^{-1}-6)}{b^{-1}-7}.$$
Тогда
$$\frac{(b^{-1}-6)^2}{b^{-1}-7}\cdot\frac{b^{-1}-7}{2b^{-1}(b^{-1}-6)} =\frac{b^{-1}-6}{2b^{-1}}.$$
Упростим:
$$\frac{b^{-1}-6}{2b^{-1}}=\frac{\frac{1}{b}-6}{\frac{2}{b}}=\frac{1-6b}{2}.$$
$$\frac{(x-1)(x+1)^{-2}-2x(x^2-1)^{-1}+(x+1)(x-1)^{-2}}{8x(x^4-1)^{-1}}$$
Перепишем без отрицательных показателей:
$$\frac{\frac{x-1}{(x+1)^2}-\frac{2x}{x^2-1}+\frac{x+1}{(x-1)^2}}{\frac{8x}{x^4-1}}.$$
Так как $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$ и $$x^4-1=(x^2-1)(x^2+1),$$ то после приведения числителя к общему знаменателю получаем:
$$\frac{(x-1)^3-2x(x-1)(x+1)+(x+1)^3}{(x^2-1)^2} \cdot \frac{x^4-1}{8x}.$$
Раскроем скобки в числителе:
$$ (x-1)^3-2x(x^2-1)+(x+1)^3=2x^3+2x. $$
Тогда
$$\frac{2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2}\cdot\frac{x^4-1}{8x} =\frac{2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2}\cdot\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{8x} =\frac{x^2+1}{x^2-1}.$$