Упр.41.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. $$\left(\frac{a^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}}-\frac{a^{-1}-b^{-1}}{a^{-1}}\right):\left(\frac{b}{a^2}\right)^{-1}$$
   $$=\left(\frac{a^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}}-\frac{1-\frac{a}{b}}{1}\right):\frac{a^2}{b}$$
   $$=\left(\frac{1}{a\left(\frac1a+\frac1b\right)}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right)\cdot\frac{b}{a^2}$$
   $$=\left(\frac{b}{a+b}-\frac{b-a}{b}\right)\cdot\frac{b}{a^2}$$
   $$=\frac{ab-b(a+b)+a(a+b)}{a+b}\cdot\frac{1}{a^2}=\frac{1}{a+b}.$$
2. $$\frac{b^{-2}-2}{b^{-2}}-\frac{b^{-4}-4}{b^{-2}}\cdot\frac{1}{b^{-2}-2}$$
   $$=\frac{b^{-2}-2}{b^{-2}}-\frac{(b^{-2}-2)(b^{-2}+2)}{b^{-2}}\cdot\frac{1}{b^{-2}-2}$$
   $$=\frac{b^{-2}-2}{b^{-2}}-\frac{b^{-2}+2}{b^{-2}}$$
   $$=\frac{-4}{b^{-2}}=-4b^2.$$
3. $$\frac{5c^{-3}}{c^{-3}-3}-\frac{c^{-3}+6}{2c^{-3}-6}\cdot\frac{90}{c^{-6}+6c^{-3}}$$
   $$=\frac{5c^{-3}}{c^{-3}-3}-\frac{c^{-3}+6}{2(c^{-3}-3)}\cdot\frac{90}{c^{-3}(c^{-3}+6)}$$
   $$=\frac{5c^{-3}}{c^{-3}-3}-\frac{45}{c^{-3}(c^{-3}-3)}$$
   $$=\frac{5c^{-6}-45}{c^{-3}(c^{-3}-3)}=\frac{5(c^{-6}-9)}{c^{-3}(c^{-3}-3)}$$
   $$=\frac{5(c^{-3}-3)(c^{-3}+3)}{c^{-3}(c^{-3}-3)}=5\cdot\frac{c^{-3}+3}{c^{-3}}$$
   $$=5\left(1+3c^3\right)=5+15c^3.$$
4. $$\left(\frac{m^{-4}}{m^{-4}-4}-\frac{3m^{-4}}{m^{-8}-8m^{-4}+16}\right)\cdot\frac{16-m^{-8}}{m^{-4}-7}+\frac{8m^{-4}}{m^{-4}-4}$$
   $$=\left(\frac{m^{-4}}{m^{-4}-4}-\frac{3m^{-4}}{(m^{-4}-4)^2}\right)\cdot\frac{16-m^{-8}}{m^{-4}-7}+\frac{8m^{-4}}{m^{-4}-4}$$
   $$=\frac{m^{-4}(m^{-4}-4)-3m^{-4}}{(m^{-4}-4)^2}\cdot\frac{16-m^{-8}}{m^{-4}-7}+\frac{8m^{-4}}{m^{-4}-4}$$
   $$=\frac{m^{-8}-7m^{-4}}{(m^{-4}-4)^2}\cdot\frac{16-m^{-8}}{m^{-4}-7}+\frac{8m^{-4}}{m^{-4}-4}$$
   $$=\frac{m^{-4}(m^{-4}-7)}{(m^{-4}-4)^2}\cdot\frac{-(m^{-4}-4)(m^{-4}+4)}{m^{-4}-7}+\frac{8m^{-4}}{m^{-4}-4}$$
   $$=-\frac{m^{-4}(m^{-4}+4)}{m^{-4}-4}+\frac{8m^{-4}}{m^{-4}-4}$$
   $$=\frac{-m^{-8}+4m^{-4}}{m^{-4}-4}=-m^{-4}=-\frac{1}{m^4}.$$
5. $$\frac{(a+b-1)^{-1}+(a-b+1)^{-1}}{2(a+b)}\cdot\left(\frac{1}{a^{-2}}-\frac{1}{(b-1)^{-2}}\right)$$
   $$=\frac{\frac{1}{a+b-1}+\frac{1}{a-b+1}}{2(a+b)}\cdot\left(a^2-(b-1)^2\right)$$
   $$=\frac{2a}{(a+b-1)(a-b+1)}\cdot\frac{(a+b-1)(a-b+1)}{2(a+b)}$$
   $$=\frac{a}{a+b}.$$

Ответ

1) $$\frac{1}{a+b}$$; 2) $$-4b^2$$; 3) $$5+15c^3$$; 4) $$-\frac{1}{m^4}$$; 5) $$\frac{a}{a+b}$$.