Упр.41 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Определите, являются ли взаимно простыми числа: 1) $$728$$ и $$1275$$; 2) $$273$$ и $$130$$.
2. Решите уравнение: 1) $$8(7x — 3) = -48(3x + 2)$$; 2) $$4{,}5(8x + 20) = 6(6x + 15)$$.

1) Разложим числа на простые множители:

$$728=2^3\cdot 7\cdot 13,$$

$$1275=3\cdot 5^2\cdot 17.$$

Общих простых множителей нет, значит,

$$\gcd(728;1275)=1.$$

Следовательно, числа 728 и 1275 взаимно простые.

2) Разложим числа на простые множители:

$$273=3\cdot 7\cdot 13,$$

$$130=2\cdot 5\cdot 13.$$

Общий множитель есть: $$13.$$ Поэтому

$$\gcd(273;130)=13.$$

Следовательно, числа 273 и 130 не являются взаимно простыми.

3) Решим уравнение:

$$8(7x-3)=-48(3x+2)$$

$$56x-24=-144x-96$$

$$56x+144x=-96+24$$

$$200x=-72$$

$$x=\frac{-72}{200}=-\frac{9}{25}.$$

4) Решим уравнение:

$$4{,}5(8x+20)=6(6x+15)$$

$$36x+90=36x+90$$

Получаем верное тождество, значит, уравнение имеет бесконечно много решений.

$$x \text{ — любое число.}$$

Ответ

1) Да, взаимно простые; 2) нет, не взаимно простые; 3) $$x=-\frac{9}{25}$$; 4) $$x$$ — любое число.