Упр.41.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

41.18. Докажите тождество: $$a^{-8}-b^{-8}=(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})(a^{-2}+b^{-2})(a^{-4}+b^{-4})$$.

Преобразуем правую часть, используя формулу разности квадратов:

$$(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})=a^{-2}-b^{-2}$$

Тогда

$$(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})(a^{-2}+b^{-2})(a^{-4}+b^{-4})$$
$$=(a^{-2}-b^{-2})(a^{-2}+b^{-2})(a^{-4}+b^{-4})$$
$$=(a^{-4}-b^{-4})(a^{-4}+b^{-4})$$
$$=a^{-8}-b^{-8}.$$

Следовательно,

$$a^{-8}-b^{-8}=(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})(a^{-2}+b^{-2})(a^{-4}+b^{-4}).$$

Ответ

Тождество доказано.