Упр.41.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 41.12. Представьте в виде произведения выражение:
   1) $$x^{-4}-25$$;
   2) $$m^{-6}-8n^{-3}$$;
   3) $$a^{-10}+8a^{-5}b^{-7}+16b^{-14}$$;
   4) $$a^{-4}-a^{-2}$$.

1. $$x^{-4}-25=(x^{-2})^2-5^2=(x^{-2}-5)(x^{-2}+5).$$
2. $$m^{-6}-8n^{-3}=(m^{-2})^3-(2n^{-1})^3.$$
   Применим формулу разности кубов:
   $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$
   Тогда
   $$m^{-6}-8n^{-3}=(m^{-2}-2n^{-1})(m^{-4}+2m^{-2}n^{-1}+4n^{-2}).$$
3. $$a^{-10}+8a^{-5}b^{-7}+16b^{-14}=(a^{-5})^2+2\cdot a^{-5}\cdot 4b^{-7}+(4b^{-7})^2.$$
   Это квадрат суммы:
   $$a^{-10}+8a^{-5}b^{-7}+16b^{-14}=(a^{-5}+4b^{-7})^2.$$
4. $$a^{-4}-a^{-2}=a^{-4}(1-a^2)=a^{-4}(1-a)(1+a).$$

Ответ

1) $$\left(x^{-2}-5\right)\left(x^{-2}+5\right);$$
2) $$\left(m^{-2}-2n^{-1}\right)\left(m^{-4}+2m^{-2}n^{-1}+4n^{-2}\right);$$
3) $$\left(a^{-5}+4b^{-7}\right)^2;$$
4) $$a^{-4}(1-a)(1+a).$$