Упр.40.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

40. Можно ли утверждать, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$(5n+6{,}5)^2-(2n+0{,}5)^2$$ кратно 42?

$$(5n+6{,}5)^2-(2n+0{,}5)^2$$

Используем формулу разности квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Тогда

$$(5n+6{,}5)^2-(2n+0{,}5)^2=(5n+6{,}5-(2n+0{,}5))(5n+6{,}5+(2n+0{,}5))$$

$$=(3n+6)(7n+7)=3(n+2)\cdot 7(n+1)=21(n+1)(n+2)$$

Числа $$n+1$$ и $$n+2$$ — последовательные, значит, одно из них чётное. Следовательно, произведение $$21(n+1)(n+2)$$ делится на $$21\cdot 2=42$$.

Значит, при любом натуральном $$n$$ данное выражение кратно $$42$$.

Ответ

Да, можно: $$(5n+6{,}5)^2-(2n+0{,}5)^2=21(n+1)(n+2)$$, поэтому выражение кратно $$42$$ при любом натуральном $$n$$.