Упр.40.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

40. Докажите, что при любом $$n \in \mathbb{Z}$$:
    1) если $$a > 0$$, то $$a^n > 0$$;
    2) если $$a < 0$$, то $$a^n > 0$$ при чётном $$n$$ и $$a^n < 0$$ при нечётном $$n$$.

1) Если $$a>0,$$ то $$a=|a|.$$ Тогда при любом целом $$n$$

$$a^n=|a|^n>0,$$

что и требовалось доказать.

2) Если $$a<0,$$ то $$a=-|a|.$$

а) Пусть $$n$$ — чётное, то есть $$n=2k.$$ Тогда

$$a^n=(-|a|)^{2k}=(-1)^{2k}\cdot |a|^{2k}=|a|^{2k}>0.$$

б) Пусть $$n$$ — нечётное, то есть $$n=2k+1.$$ Тогда

$$a^n=(-|a|)^{2k+1}=(-1)^{2k+1}\cdot |a|^{2k+1}=-|a|^{2k+1}<0.$$

Следовательно, при отрицательном $$a$$ степень $$a^n$$ положительна при чётном $$n$$ и отрицательна при нечётном $$n$$.

Ответ

1) $$a^n>0$$ при $$a>0$$ для любого целого $$n$$.
2) Если $$a<0,$$ то $$a^n>0$$ при чётном $$n$$ и $$a^n<0$$ при нечётном $$n$$.