Упр.40.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 40.20. Докажите, что $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n$$.

Используем правило возведения дроби в отрицательную степень:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\frac{a^{-n}}{b^{-n}}.$$

Так как $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$ и $$b^{-n}=\frac{1}{b^n},$$ получаем

$$\frac{a^{-n}}{b^{-n}}=\frac{\frac{1}{a^n}}{\frac{1}{b^n}}=\frac{b^n}{a^n}.$$

По правилу возведения дроби в степень

$$\frac{b^n}{a^n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n.$$

Следовательно,

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n.$$

Ответ

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n.$$