Упр.4.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 4.6. Может ли в компании из 7 человек каждый дружитт ровно: 1) с четырьмя людьми; 2) с пятью людьми?

Рассмотрим всех друзей в компании как вершины графа. Если каждый человек дружит с k людьми, то сумма степеней всех вершин равна $$7k$$.

Но сумма степеней всех вершин в любом графе всегда чётна, так как каждую дружбу считают дважды: у каждого из двух друзей.

Проверим оба случая:

1. Если каждый дружит с четырьмя людьми, то сумма степеней равна $$7 \cdot 4 = 28$$. Это чётное число, значит, такая ситуация возможна.
2. Если каждый дружит с пятью людьми, то сумма степеней равна $$7 \cdot 5 = 35$$. Это нечётное число, а сумма степеней всех вершин не может быть нечётной. Значит, такая ситуация невозможна.

Ответ

1) Да, может. 2) Нет, не может.