Упр.39.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 39.8. Докажите, что значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной: 1) $$\frac{3x^2-27}{4x^2+2}\cdot\left(\frac{6x+1}{x-3}+\frac{6x-1}{x+3}\right)$$; 2) $$\frac{3}{2a-3}-\frac{8a^3-18a}{4a^2+9}\cdot\left(\frac{2a}{4a^2-12a+9}-\frac{3}{4a^2-9}\right)$$.

1. Упростим выражение

   $$\frac{3x^2-27}{4x^2+2}\cdot\left(\frac{6x+1}{x-3}+\frac{6x-1}{x+3}\right).$$

   Вынесем множители и приведём дроби к общему знаменателю:

   $$3x^2-27=3(x^2-9)=3(x-3)(x+3),$$

   $$4x^2+2=2(2x^2+1).$$

   Тогда

   $$\frac{3(x-3)(x+3)}{2(2x^2+1)}\cdot \frac{(6x+1)(x+3)+(6x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}.$$

   Сократим на $$(x-3)(x+3)$$:

   $$\frac{3\big((6x+1)(x+3)+(6x-1)(x-3)\big)}{2(2x^2+1)}.$$

   Раскроем скобки:

   $$(6x+1)(x+3)=6x^2+19x+3,$$
   $$(6x-1)(x-3)=6x^2-19x+3.$$

   Тогда

   $$(6x+1)(x+3)+(6x-1)(x-3)=12x^2+6=6(2x^2+1).$$

   Получаем

   $$\frac{3\cdot 6(2x^2+1)}{2(2x^2+1)}=9.$$

   Значение выражения не зависит от переменной.

2. Упростим выражение

   $$\frac{3}{2a-3}-\frac{8a^3-18a}{4a^2+9}\cdot\left(\frac{2a}{4a^2-12a+9}-\frac{3}{4a^2-9}\right).$$

   Разложим знаменатели:

   $$4a^2-12a+9=(2a-3)^2,\qquad 4a^2-9=(2a-3)(2a+3).$$

   Тогда

   $$\frac{2a}{(2a-3)^2}-\frac{3}{(2a-3)(2a+3)} = \frac{2a(2a+3)-3(2a-3)}{(2a-3)^2(2a+3)}.$$

   Числитель:

   $$2a(2a+3)-3(2a-3)=4a^2+9.$$

   Значит,

   $$\frac{2a}{4a^2-12a+9}-\frac{3}{4a^2-9} = \frac{4a^2+9}{(2a-3)^2(2a+3)}.$$

   Подставим:

   $$\frac{3}{2a-3}-\frac{8a^3-18a}{4a^2+9}\cdot \frac{4a^2+9}{(2a-3)^2(2a+3)}.$$

   Сократим на $$4a^2+9$$:

   $$\frac{3}{2a-3}-\frac{8a^3-18a}{(2a-3)^2(2a+3)}.$$

   Вынесем множители:

   $$8a^3-18a=2a(4a^2-9)=2a(2a-3)(2a+3).$$

   Тогда

   $$\frac{8a^3-18a}{(2a-3)^2(2a+3)}=\frac{2a}{2a-3}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{3}{2a-3}-\frac{2a}{2a-3}=\frac{3-2a}{2a-3}=-1.$$

   Значение выражения не зависит от переменной.

Ответ

1) $$9$$; 2) $$-1$$.