Упр.39.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 39.6. Докажите тождество:
   
   1) $$\left(\frac{b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b^2-ab}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab}=\frac{4}{a+b};$$
   
   2) $$\frac{(a-b)^2}{a}\cdot\left(\frac{a}{(a-b)^2}+\frac{a}{b^2-a^2}\right)+\frac{3a+b}{a+b}=3.$$

1. Преобразуем левую часть:
   $$\left(\frac{b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b^2-ab}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab}.$$

   Так как
   $$a^2-ab=a(a-b), \quad b^2-ab=b(b-a)=-b(a-b), \quad a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$
   то
   $$\frac{b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b^2-ab} =\frac{b}{a(a-b)}-\frac{2}{a-b}+\frac{a}{b(a-b)}.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{b}{a(a-b)}-\frac{2}{a-b}+\frac{a}{b(a-b)} =\frac{b^2-2ab+a^2}{ab(a-b)} =\frac{(a-b)^2}{ab(a-b)} =\frac{a-b}{ab}.$$

   Тогда
   $$\frac{a-b}{ab}:\frac{a^2-b^2}{4ab} =\frac{a-b}{ab}\cdot\frac{4ab}{a^2-b^2} =\frac{4(a-b)}{(a-b)(a+b)} =\frac{4}{a+b}.$$

2. Рассмотрим выражение:
   $$\frac{(a-b)^2}{a}\left(\frac{a}{(a-b)^2}+\frac{a}{b^2-a^2}\right)+\frac{3a+b}{a+b}.$$

   Так как
   $$b^2-a^2=-(a-b)(a+b),$$
   то
   $$\frac{a}{(a-b)^2}+\frac{a}{b^2-a^2} =\frac{a}{(a-b)^2}-\frac{a}{(a-b)(a+b)}.$$

   Вынесем $$a$$ и приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{(a-b)^2}{a}\left(\frac{a}{(a-b)^2}-\frac{a}{(a-b)(a+b)}\right) =(a-b)^2\left(\frac{1}{(a-b)^2}-\frac{1}{(a-b)(a+b)}\right).$$

   Тогда
   $$=1-\frac{a-b}{a+b} =\frac{a+b-a+b}{a+b} =\frac{2b}{a+b}.$$

   Теперь прибавим вторую дробь:
   $$\frac{2b}{a+b}+\frac{3a+b}{a+b} =\frac{3a+3b}{a+b} =\frac{3(a+b)}{a+b} =3.$$

Ответ

1) $$\frac{4}{a+b}$$

2) $$3$$