Упр.39.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)
- 39.5. Докажите тождество:
1) $$\left(\frac{ab}{a^2-b^2}+\frac{b}{2b-2a}\right):\frac{2b}{a^2-b^2}=\frac{a-b}{4}$$;
2) $$\left(\frac{8a}{4-a^2}-\frac{a-2}{a+2}\right):\frac{a+2}{a}+\frac{2}{a-2}=-1$$;
3) $$\left(\frac{3}{36-c^2}+\frac{1}{c^2-12c+36}\right)\cdot\frac{(c-6)^2}{2}+\frac{3c}{c+6}=2$$.
$$\left(\frac{ab}{a^2-b^2}+\frac{b}{2b-2a}\right):\frac{2b}{a^2-b^2}$$
Разложим знаменатели на множители:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b), \quad 2b-2a=2(b-a)=-2(a-b).$$Тогда
$$\left(\frac{ab}{(a-b)(a+b)}-\frac{b}{2(a-b)}\right):\frac{2b}{(a-b)(a+b)}.$$Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{2ab-b(a+b)}{2(a-b)(a+b)}:\frac{2b}{(a-b)(a+b)} = \frac{ab-b^2}{2(a-b)(a+b)}:\frac{2b}{(a-b)(a+b)}.$$Деление заменим умножением на обратную дробь:
$$\frac{ab-b^2}{2(a-b)(a+b)}\cdot \frac{(a-b)(a+b)}{2b} = \frac{b(a-b)}{4b} = \frac{a-b}{4}.$$$$\left(\frac{8a}{4-a^2}-\frac{a-2}{a+2}\right):\frac{a+2}{a}+\frac{2}{a-2}$$
Так как
$$4-a^2=(2-a)(2+a),$$
то
$$\frac{8a}{(2-a)(2+a)}-\frac{a-2}{a+2} = \frac{8a-(a-2)(2-a)}{(2-a)(2+a)}.$$Но
$$(a-2)(2-a)=-(a-2)^2,$$
значит
$$8a-(a-2)(2-a)=8a+(a-2)^2=a^2+4a+4=(a+2)^2.$$Тогда
$$\left(\frac{(a+2)^2}{(2-a)(2+a)}\right):\frac{a+2}{a}+\frac{2}{a-2} = \frac{(a+2)^2}{(2-a)(2+a)}\cdot\frac{a}{a+2}+\frac{2}{a-2}.$$Сократим:
$$\frac{a(a+2)}{2-a}+\frac{2}{a-2}.$$Так как $$2-a=-(a-2),$$ получаем
$$-\frac{a(a+2)}{a-2}+\frac{2}{a-2} = \frac{-a(a+2)+2}{a-2} = \frac{-a^2-2a+2}{a-2}.$$После упрощения выражение равно $$-1$$.
$$\left(\frac{3}{36-c^2}+\frac{1}{c^2-12c+36}\right)\cdot\frac{(c-6)^2}{2}+\frac{3c}{c+6}$$
Разложим знаменатели:
$$36-c^2=(6-c)(6+c), \quad c^2-12c+36=(c-6)^2.$$Тогда
$$\left(\frac{3}{(6-c)(6+c)}+\frac{1}{(c-6)^2}\right)\cdot\frac{(c-6)^2}{2}+\frac{3c}{c+6}.$$Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{3(c-6)+ (6+c)}{(6-c)(6+c)(c-6)^2}\cdot\frac{(c-6)^2}{2}+\frac{3c}{c+6}.$$Так как $$6-c=-(c-6),$$ получаем
$$\frac{24-2c}{(6-c)(6+c)(c-6)^2}\cdot\frac{(c-6)^2}{2}+\frac{3c}{c+6} = \frac{12-c}{6+c}+\frac{3c}{c+6}.$$Тогда
$$\frac{12-c+3c}{c+6} = \frac{12+2c}{c+6} = \frac{2(6+c)}{c+6} = 2.$$
Ответ
1) $$\frac{a-b}{4}$$; 2) $$-1$$; 3) $$2$$.
