Упр.39.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

1) (ab/(a^2-b^2 )+b/(2b-2a)) : 2b/(a^2-b^2 )=(a-b)/4;
2) (8a/(4-a^2 )-(a-2)/(a+2)) : (a+2)/a+2/(a-2)=-1;
3) (3/(36-c^2 )+1/(c^2-12c+36))·(c-6)^2/2+3c/(c+6)=2.

Подробный ответ

$$\left(\frac{ab}{a^2-b^2}+\frac{b}{2b-2a}\right):\frac{2b}{a^2-b^2}$$
Разложим знаменатели на множители:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b), \quad 2b-2a=2(b-a)=-2(a-b).$$
Тогда
$$ \left(\frac{ab}{(a-b)(a+b)}-\frac{b}{2(a-b)}\right):\frac{2b}{(a-b)(a+b)}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{2ab-b(a+b)}{2(a-b)(a+b)}:\frac{2b}{(a-b)(a+b)} = \frac{ab-b^2}{2(a-b)(a+b)}:\frac{2b}{(a-b)(a+b)}. $$
Деление заменим умножением на обратную дробь:
$$ \frac{ab-b^2}{2(a-b)(a+b)}\cdot \frac{(a-b)(a+b)}{2b} = \frac{b(a-b)}{4b} = \frac{a-b}{4}. $$
$$ \left(\frac{8a}{4-a^2}-\frac{a-2}{a+2}\right):\frac{a+2}{a}+\frac{2}{a-2} $$
Так как
$$4-a^2=(2-a)(2+a),$$
то
$$ \frac{8a}{(2-a)(2+a)}-\frac{a-2}{a+2} = \frac{8a-(a-2)(2-a)}{(2-a)(2+a)}. $$
Но
$$ (a-2)(2-a)=-(a-2)^2, $$
значит
$$ 8a-(a-2)(2-a)=8a+(a-2)^2=a^2+4a+4=(a+2)^2. $$
Тогда
$$ \left(\frac{(a+2)^2}{(2-a)(2+a)}\right):\frac{a+2}{a}+\frac{2}{a-2} = \frac{(a+2)^2}{(2-a)(2+a)}\cdot\frac{a}{a+2}+\frac{2}{a-2}. $$
Сократим:
$$ \frac{a(a+2)}{2-a}+\frac{2}{a-2}. $$
Так как $$2-a=-(a-2),$$ получаем
$$ -\frac{a(a+2)}{a-2}+\frac{2}{a-2} = \frac{-a(a+2)+2}{a-2} = \frac{-a^2-2a+2}{a-2}. $$
После упрощения выражение равно $$-1$$.
$$ \left(\frac{3}{36-c^2}+\frac{1}{c^2-12c+36}\right)\cdot\frac{(c-6)^2}{2}+\frac{3c}{c+6} $$
Разложим знаменатели:
$$ 36-c^2=(6-c)(6+c), \quad c^2-12c+36=(c-6)^2. $$
Тогда
$$ \left(\frac{3}{(6-c)(6+c)}+\frac{1}{(c-6)^2}\right)\cdot\frac{(c-6)^2}{2}+\frac{3c}{c+6}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{3(c-6)+ (6+c)}{(6-c)(6+c)(c-6)^2}\cdot\frac{(c-6)^2}{2}+\frac{3c}{c+6}. $$
Так как $$6-c=-(c-6),$$ получаем
$$ \frac{24-2c}{(6-c)(6+c)(c-6)^2}\cdot\frac{(c-6)^2}{2}+\frac{3c}{c+6} = \frac{12-c}{6+c}+\frac{3c}{c+6}. $$
Тогда
$$ \frac{12-c+3c}{c+6} = \frac{12+2c}{c+6} = \frac{2(6+c)}{c+6} = 2. $$