Упр.39.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. $$\left(\frac{15}{x-7}-x-7\right)\cdot \frac{7-x}{x^2-16x+64}$$
   
   Заметим, что
   $$x^2-16x+64=(x-8)^2,\qquad 7-x=-(x-7).$$
   Тогда
   $$\frac{15}{x-7}-x-7=\frac{15-(x+7)(x-7)}{x-7}=\frac{15-(x^2-49)}{x-7}=\frac{64-x^2}{x-7}.$$
   Следовательно,
   $$\left(\frac{64-x^2}{x-7}\right)\cdot \frac{-(x-7)}{(x-8)^2} =-\frac{64-x^2}{(x-8)^2} =\frac{x^2-64}{(x-8)^2} =\frac{(x-8)(x+8)}{(x-8)^2} =\frac{x+8}{x-8}.$$
2. $$\left(\frac1a+\frac2b+\frac{a}{b^2}\right)\cdot \frac{ab}{a^2-b^2}+\frac{2}{b-a}$$
   
   Приведём первую скобку к общему знаменателю:
   $$\frac1a+\frac2b+\frac{a}{b^2} =\frac{b^2+2ab+a^2}{ab^2} =\frac{(a+b)^2}{ab^2}.$$
   Тогда
   $$\frac{(a+b)^2}{ab^2}\cdot \frac{ab}{a^2-b^2} =\frac{(a+b)^2}{b(a^2-b^2)} =\frac{(a+b)^2}{b(a-b)(a+b)} =\frac{a+b}{b(a-b)}.$$
   Кроме того,
   $$\frac{2}{b-a}=-\frac{2}{a-b}.$$
   Поэтому
   $$\frac{a+b}{b(a-b)}-\frac{2}{a-b} =\frac{a+b-2b}{b(a-b)} =\frac{a-b}{b(a-b)} =\frac1b.$$
3. $$\left(\frac{a}{a-1}-\frac{a}{a+1}-\frac{a^2+1}{1-a^2}\right):\frac{a^2+a}{(a-1)^2}$$
   
   Так как
   $$1-a^2=-(a-1)(a+1),$$
   то
   $$-\frac{a^2+1}{1-a^2}=\frac{a^2+1}{a^2-1}.$$
   Тогда первая скобка:
   $$\frac{a}{a-1}-\frac{a}{a+1}+\frac{a^2+1}{a^2-1} =\frac{a(a+1)-a(a-1)+a^2+1}{a^2-1} =\frac{2a+a^2+1}{a^2-1} =\frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)} =\frac{a+1}{a-1}.$$
   Делим на дробь:
   $$\frac{a+1}{a-1}:\frac{a^2+a}{(a-1)^2} =\frac{a+1}{a-1}\cdot \frac{(a-1)^2}{a(a+1)} =\frac{a-1}{a}.$$
4. $$\left(\frac{x+2y}{x-2y}-\frac{x-2y}{x+2y}-\frac{16y^2}{x^2-4y^2}\right):\frac{4y}{x+2y}$$
   
   Так как
   $$x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y),$$
   то первая скобка равна
   $$\frac{(x+2y)^2-(x-2y)^2-16y^2}{x^2-4y^2}.$$
   Числитель:
   $$(x+2y)^2-(x-2y)^2-16y^2 =\bigl(x^2+4xy+4y^2\bigr)-\bigl(x^2-4xy+4y^2\bigr)-16y^2 =8xy-16y^2 =8y(x-2y).$$
   Значит,
   $$\frac{8y(x-2y)}{(x-2y)(x+2y)}=\frac{8y}{x+2y}.$$
   Тогда
   $$\frac{8y}{x+2y}:\frac{4y}{x+2y}=2.$$
5. $$\left(\frac{3a-8}{a^2-2a+4}+\frac1{a+2}-\frac{4a-28}{a^3+8}\right)\cdot \frac{a^2-4}{4}$$
   
   Разложим на множители:
   $$a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4),\qquad a^2-4=(a-2)(a+2).$$
   Тогда
   $$\frac{3a-8}{a^2-2a+4}+\frac1{a+2}-\frac{4a-28}{(a+2)(a^2-2a+4)}$$
   $$=\frac{(3a-8)(a+2)+(a^2-2a+4)-(4a-28)}{(a+2)(a^2-2a+4)}.$$
   Числитель:
   $$(3a-8)(a+2)+(a^2-2a+4)-(4a-28) =3a^2+6a-8a-16+a^2-2a+4-4a+28 =4a^2-8a+16 =4(a^2-2a+4).$$
   Поэтому
   $$\frac{4(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}\cdot \frac{(a-2)(a+2)}{4} =a-2.$$

Ответ

1) $$\frac{x+8}{x-8}$$; 2) $$\frac1b$$; 3) $$\frac{a-1}{a}$$; 4) $$2$$; 5) $$a-2$$.