Упр.39.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

1) (15/(x-7)-x-7)·(7-x)/(x^2-16x+64);
2) (1/a+2/b+a/b^2 )·ab/(a^2-b^2 )+2/(b-a);
3) (a/(a-1)-a/(a+1)-(a^2+1)/(1-a^2 )) : (a^2+a)/(a-1)^2 ;
4) ((x+2y)/(x-2y)-(x-2y)/(x+2y)-(16y^2)/(x^2-4y^2 )) : 4y/(x+2y);
5) ((3a-8)/(a^2-2a+4)+1/(a+2)-(4a-28)/(a^3+8))·(a^2-4)/4.

Подробный ответ

$$\left(\frac{15}{x-7}-x-7\right)\cdot \frac{7-x}{x^2-16x+64}$$

Заметим, что
$$x^2-16x+64=(x-8)^2,\qquad 7-x=-(x-7).$$
Тогда
$$\frac{15}{x-7}-x-7=\frac{15-(x+7)(x-7)}{x-7}=\frac{15-(x^2-49)}{x-7}=\frac{64-x^2}{x-7}.$$
Следовательно,
$$ \left(\frac{64-x^2}{x-7}\right)\cdot \frac{-(x-7)}{(x-8)^2} =-\frac{64-x^2}{(x-8)^2} =\frac{x^2-64}{(x-8)^2} =\frac{(x-8)(x+8)}{(x-8)^2} =\frac{x+8}{x-8}. $$
$$\left(\frac1a+\frac2b+\frac{a}{b^2}\right)\cdot \frac{ab}{a^2-b^2}+\frac{2}{b-a}$$

Приведём первую скобку к общему знаменателю:
$$ \frac1a+\frac2b+\frac{a}{b^2} =\frac{b^2+2ab+a^2}{ab^2} =\frac{(a+b)^2}{ab^2}. $$
Тогда
$$ \frac{(a+b)^2}{ab^2}\cdot \frac{ab}{a^2-b^2} =\frac{(a+b)^2}{b(a^2-b^2)} =\frac{(a+b)^2}{b(a-b)(a+b)} =\frac{a+b}{b(a-b)}. $$
Кроме того,
$$\frac{2}{b-a}=-\frac{2}{a-b}.$$
Поэтому
$$ \frac{a+b}{b(a-b)}-\frac{2}{a-b} =\frac{a+b-2b}{b(a-b)} =\frac{a-b}{b(a-b)} =\frac1b. $$
$$ \left(\frac{a}{a-1}-\frac{a}{a+1}-\frac{a^2+1}{1-a^2}\right):\frac{a^2+a}{(a-1)^2} $$

Так как
$$1-a^2=-(a-1)(a+1),$$
то
$$ -\frac{a^2+1}{1-a^2}=\frac{a^2+1}{a^2-1}. $$
Тогда первая скобка:
$$ \frac{a}{a-1}-\frac{a}{a+1}+\frac{a^2+1}{a^2-1} =\frac{a(a+1)-a(a-1)+a^2+1}{a^2-1} =\frac{2a+a^2+1}{a^2-1} =\frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)} =\frac{a+1}{a-1}. $$
Делим на дробь:
$$ \frac{a+1}{a-1}:\frac{a^2+a}{(a-1)^2} =\frac{a+1}{a-1}\cdot \frac{(a-1)^2}{a(a+1)} =\frac{a-1}{a}. $$
$$ \left(\frac{x+2y}{x-2y}-\frac{x-2y}{x+2y}-\frac{16y^2}{x^2-4y^2}\right):\frac{4y}{x+2y} $$

Так как
$$x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y),$$
то первая скобка равна
$$ \frac{(x+2y)^2-(x-2y)^2-16y^2}{x^2-4y^2}. $$
Числитель:
$$ (x+2y)^2-(x-2y)^2-16y^2 =\bigl(x^2+4xy+4y^2\bigr)-\bigl(x^2-4xy+4y^2\bigr)-16y^2 =8xy-16y^2 =8y(x-2y). $$
Значит,
$$ \frac{8y(x-2y)}{(x-2y)(x+2y)}=\frac{8y}{x+2y}. $$
Тогда
$$ \frac{8y}{x+2y}:\frac{4y}{x+2y}=2. $$
$$ \left(\frac{3a-8}{a^2-2a+4}+\frac1{a+2}-\frac{4a-28}{a^3+8}\right)\cdot \frac{a^2-4}{4} $$

Разложим на множители:
$$ a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4),\qquad a^2-4=(a-2)(a+2). $$
Тогда
$$ \frac{3a-8}{a^2-2a+4}+\frac1{a+2}-\frac{4a-28}{(a+2)(a^2-2a+4)} $$
$$ =\frac{(3a-8)(a+2)+(a^2-2a+4)-(4a-28)}{(a+2)(a^2-2a+4)}. $$
Числитель:
$$ (3a-8)(a+2)+(a^2-2a+4)-(4a-28) =3a^2+6a-8a-16+a^2-2a+4-4a+28 =4a^2-8a+16 =4(a^2-2a+4). $$
Поэтому
$$ \frac{4(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}\cdot \frac{(a-2)(a+2)}{4} =a-2. $$