Упр.39.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 39.26. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения 3^(n+2)-2^(n+2)+3^n-2^n делится нацело на 10.

Преобразуем выражение:

$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=3^n\cdot 3^2-2^n\cdot 2^2+3^n-2^n.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$=(3^n\cdot 3^2+3^n)-(2^n\cdot 2^2+2^n)=3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1).$$

Вычислим скобки:

$$3^n(9+1)-2^n(4+1)=3^n\cdot 10-2^n\cdot 5.$$

Вынесем 10 за скобки:

$$3^n\cdot 10-2^n\cdot 5=10\left(3^n-2^{n-1}\right).$$

Значит, выражение делится нацело на $10$ при любом натуральном $n$.

Ответ

Выражение делится нацело на $10$ при любом натуральном $n$.