Упр.39.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 39.24. Найдите сумму $$\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\dots+\frac{1}{n}}}}}}+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\dots+\frac{1}{n}}}}}$$.

Обозначим

$$a=\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\dots+\frac{1}{n}}}}.$$

Тогда данная сумма равна

$$\frac{1}{1+\frac{1}{1+a}}+\frac{1}{2+a}.$$

Преобразуем первую дробь:

$$\frac{1}{1+\frac{1}{1+a}}=\frac{1}{\frac{1+a+1}{1+a}}=\frac{1+a}{2+a}.$$

Тогда

$$\frac{1+a}{2+a}+\frac{1}{2+a}=\frac{1+a+1}{2+a}=\frac{2+a}{2+a}=1.$$

Ответ

$$1$$