Упр.39.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. Числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ таковы, что $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$$. Докажите, что $$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0$$.

Так как

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1,$$

умножим обе части равенства на $$a+b+c$$:

$$(a+b+c)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)=a+b+c.$$

Раскроем скобки в числителях:

$$\frac{a(a+b+c)}{b+c}+\frac{b(a+b+c)}{c+a}+\frac{c(a+b+c)}{a+b}=a+b+c,$$

$$\frac{a^2+ab+ac}{b+c}+\frac{ab+b^2+bc}{c+a}+\frac{ac+bc+c^2}{a+b}=a+b+c.$$

Представим каждую дробь как сумму двух дробей:

$$\frac{a^2+a(b+c)}{b+c}+\frac{b(a+c)+b^2}{c+a}+\frac{c(a+b)+c^2}{a+b}=a+b+c.$$

Тогда

$$\left(\frac{a^2}{b+c}+a\right)+\left(\frac{b^2}{c+a}+b\right)+\left(\frac{c^2}{a+b}+c\right)=a+b+c.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0.$$

Ответ

$$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0.$$