Упр.39.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 39.23. Числа a, b и c таковы, что a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=1. Докажите, что a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)=0.

Так как

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1,$$

умножим обе части равенства на $$a+b+c$$:

$$ (a+b+c)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)=a+b+c. $$

Раскроем скобки в числителях:

$$ \frac{a(a+b+c)}{b+c}+\frac{b(a+b+c)}{c+a}+\frac{c(a+b+c)}{a+b}=a+b+c, $$

$$ \frac{a^2+ab+ac}{b+c}+\frac{ab+b^2+bc}{c+a}+\frac{ac+bc+c^2}{a+b}=a+b+c. $$

Представим каждую дробь как сумму двух дробей:

$$ \frac{a^2+a(b+c)}{b+c}+\frac{b(a+c)+b^2}{c+a}+\frac{c(a+b)+c^2}{a+b}=a+b+c. $$

Тогда

$$ \left(\frac{a^2}{b+c}+a\right)+\left(\frac{b^2}{c+a}+b\right)+\left(\frac{c^2}{a+b}+c\right)=a+b+c. $$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$ \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0. $$

Ответ

$$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0.$$