Упр.39.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)
- 22. Числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ таковы, что $$\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$$. Докажите, что $$\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0$$.
Так как
$$\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0,$$
умножим это равенство на
$$\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}.$$
Тогда получим:
$$\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)\left(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}\right)=0.$$
Раскроем скобки:
$$\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}+\frac{a+b}{(b-c)(c-a)}+\frac{a+c}{(b-c)(a-b)}+\frac{b+c}{(c-a)(a-b)}=0.$$
Сгруппируем последние три дроби:
$$\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}+\frac{(a+b)(a-b)+(c+a)(c-a)+(b+c)(b-c)}{(b-c)(c-a)(a-b)}=0.$$
В числителе второй дроби:
$$(a+b)(a-b)+(c+a)(c-a)+(b+c)(b-c) = a^2-b^2+c^2-a^2+b^2-c^2=0.$$
Значит,
$$\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0.$$
Ответ
$$\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0.$$
