Упр.39.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 39.22. Числа a, b и c таковы, что a/(b-c)+b/(c-a)+c/(a-b)=0. Докажите, что a/(b-c)^2 +b/(c-a)^2 +c/(a-b)^2 =0.

Так как

$$\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0,$$

умножим это равенство на

$$\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}.$$

Тогда получим:

$$\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)\left(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}\right)=0.$$

Раскроем скобки:

$$\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}+\frac{a+b}{(b-c)(c-a)}+\frac{a+c}{(b-c)(a-b)}+\frac{b+c}{(c-a)(a-b)}=0.$$

Сгруппируем последние три дроби:

$$\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}+\frac{(a+b)(a-b)+(c+a)(c-a)+(b+c)(b-c)}{(b-c)(c-a)(a-b)}=0.$$

В числителе второй дроби:

$$ (a+b)(a-b)+(c+a)(c-a)+(b+c)(b-c) = a^2-b^2+c^2-a^2+b^2-c^2=0. $$

Значит,

$$\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0.$$

Ответ

$$\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0.$$