Упр.39.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)
- 39.20. Упростите выражение $$\frac{1}{(a+b)^3}\cdot\left(\frac{1}{a^4}-\frac{1}{b^4}\right)+\frac{2}{(a+b)^4}\left(\frac{1}{a^3}-\frac{1}{b^3}\right)+\frac{2}{(a+b)^5}\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}\right)$$.
$$\frac{1}{(a+b)^3}\left(\frac{1}{a^4}-\frac{1}{b^4}\right)+\frac{2}{(a+b)^4}\left(\frac{1}{a^3}-\frac{1}{b^3}\right)+\frac{2}{(a+b)^5}\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}\right)$$
Приведём разности к общему знаменателю:
$$=\frac{b^4-a^4}{a^4b^4(a+b)^3}+\frac{2(b^3-a^3)}{a^3b^3(a+b)^4}+\frac{2(b^2-a^2)}{a^2b^2(a+b)^5}$$
Вынесем общий знаменатель $$a^4b^4(a+b)^5$$:
$$=\frac{(b^4-a^4)(a+b)^2+2ab(b^3-a^3)(a+b)+2a^2b^2(b^2-a^2)}{a^4b^4(a+b)^5}$$
Разложим разности на множители:
$$b^4-a^4=(b-a)(b+a)(b^2+a^2),\quad b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2),\quad b^2-a^2=(b-a)(b+a)$$
Тогда числитель содержит множитель $$b-a$$:
$$=\frac{(b-a)\bigl(b^4+4ab^3+4a^2b^2+4a^3b+a^4\bigr)}{a^4b^4(a+b)^5}$$
Сгруппируем выражение в скобках:
$$b^4+4ab^3+6a^2b^2+4a^3b+a^4=(a+b)^4$$
Следовательно,
$$=\frac{(b-a)(a+b)^4}{a^4b^4(a+b)^5}=\frac{b-a}{a^4b^4(a+b)}$$
Ответ
$$\frac{b-a}{a^4b^4(a+b)}$$
