Упр.39.2 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 39.2. Выполните действия: 1) $$\frac{b+4}{b^2-6b+9}:\frac{b^2-16}{2b-6}-\frac{2}{b-4}$$; 2) $$\frac{2x}{x^2-y^2}:\left(\frac{1}{x^2+2xy+y^2}-\frac{1}{y^2-x^2}\right)$$; 3) $$\left(\frac{2a-3}{a^2-4a+4}-\frac{a-1}{a^2-2a}\right):\frac{a^2-2}{a^3-4a}$$.

1. $$\frac{b+4}{b^2-6b+9}:\frac{b^2-16}{2b-6}-\frac{2}{b-4}$$

   Разложим на множители:
   $$b^2-6b+9=(b-3)^2,\quad b^2-16=(b-4)(b+4),\quad 2b-6=2(b-3).$$

   Тогда
   $$\frac{b+4}{(b-3)^2}:\frac{(b-4)(b+4)}{2(b-3)}-\frac{2}{b-4} = \frac{b+4}{(b-3)^2}\cdot\frac{2(b-3)}{(b-4)(b+4)}-\frac{2}{b-4}.$$

   Сократим:
   $$\frac{2}{(b-3)(b-4)}-\frac{2}{b-4} = \frac{2-2(b-3)}{(b-3)(b-4)} = \frac{-2b+8}{(b-3)(b-4)} = \frac{-2(b-4)}{(b-3)(b-4)} = -\frac{2}{b-3}.$$

2. $$\frac{2x}{x^2-y^2}:\left(\frac{1}{x^2+2xy+y^2}-\frac{1}{y^2-x^2}\right)$$

   Разложим выражения:
   $$x^2-y^2=(x-y)(x+y),\quad x^2+2xy+y^2=(x+y)^2,\quad y^2-x^2=-(x^2-y^2).$$

   Тогда
   $$\frac{1}{x^2+2xy+y^2}-\frac{1}{y^2-x^2} = \frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{x^2-y^2} = \frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x-y)(x+y)}.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x-y)(x+y)} = \frac{x-y+x+y}{(x+y)^2(x-y)} = \frac{2x}{(x+y)^2(x-y)}.$$

   Тогда
   $$\frac{2x}{x^2-y^2}:\frac{2x}{(x+y)^2(x-y)} = \frac{2x}{(x-y)(x+y)}\cdot\frac{(x+y)^2(x-y)}{2x} = x+y.$$

3. $$\left(\frac{2a-3}{a^2-4a+4}-\frac{a-1}{a^2-2a}\right):\frac{a^2-2}{a^3-4a}$$

   Разложим на множители:
   $$a^2-4a+4=(a-2)^2,\quad a^2-2a=a(a-2),\quad a^3-4a=a(a^2-4)=a(a-2)(a+2).$$

   Тогда
   $$\frac{2a-3}{(a-2)^2}-\frac{a-1}{a(a-2)} = \frac{a(2a-3)-(a-1)(a-2)}{a(a-2)^2}.$$

   Раскроем скобки:
   $$a(2a-3)-(a-1)(a-2)=2a^2-3a-(a^2-3a+2)=a^2-2.$$

   Значит,
   $$\left(\frac{2a-3}{(a-2)^2}-\frac{a-1}{a(a-2)}\right):\frac{a^2-2}{a(a-2)(a+2)} = \frac{a^2-2}{a(a-2)^2}:\frac{a^2-2}{a(a-2)(a+2)}.$$

   Деление заменим умножением на обратную дробь:
   $$\frac{a^2-2}{a(a-2)^2}\cdot\frac{a(a-2)(a+2)}{a^2-2} = \frac{a+2}{a-2}.$$

Ответ

1) $$-\frac{2}{b-3}$$; 2) $$x+y$$; 3) $$\frac{a+2}{a-2}$$.