Упр.39.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 39.19. Упростите выражение $$\frac{1}{(a+b)^3}\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\right)+\frac{3}{(a+b)^4}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{6}{(a+b)^5}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$$.

Приведём выражение к общему знаменателю:

$$\frac{1}{(a+b)^3}\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\right)+ \frac{3}{(a+b)^4}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)+ \frac{6}{(a+b)^5}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$$

$$=\frac{a^3+b^3}{a^3b^3(a+b)^3}+\frac{3(a^2+b^2)}{a^2b^2(a+b)^4}+\frac{6(a+b)}{ab(a+b)^5}$$

$$=\frac{a^3+b^3}{a^3b^3(a+b)^3}+\frac{3(a^2+b^2)(ab)(a+b)}{a^3b^3(a+b)^4}+\frac{6a^2b^2}{a^3b^3(a+b)^4}$$

$$=\frac{(a^3+b^3)(a+b)+3ab(a^2+b^2)+6a^2b^2}{a^3b^3(a+b)^4}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(a^3+b^3)(a+b)=a^4+a^3b+ab^3+b^4$$

Тогда

$$a^4+a^3b+ab^3+b^4+3a^3b+3ab^3+6a^2b^2$$

$$=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4=(a+b)^4$$

Следовательно,

$$\frac{(a+b)^4}{a^3b^3(a+b)^4}=\frac{1}{a^3b^3}$$

Ответ

$$\frac{1}{a^3b^3}$$