Упр.39.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)
- 39.18. Докажите тождество $$\frac{\left(\frac{a^3}{(b-1)^3}+1\right)\left(\frac{a}{b-1}-1\right)}{\left(\frac{a^2}{(b-1)^2}-1\right)\left(\frac{a^2}{(b-1)^2}-\frac{a}{b-1}+1\right)}=1.$$
Преобразуем числитель и знаменатель, используя формулы суммы и разности кубов и квадратов:
$$\frac{a^3}{(b-1)^3}+1 = \frac{a^3+(b-1)^3}{(b-1)^3} = \frac{(a+b-1)\bigl(a^2-ab+a+b^2-2b+1\bigr)}{(b-1)^3}$$
$$\frac{a}{b-1}-1 = \frac{a-b+1}{b-1}$$
$$\frac{a^2}{(b-1)^2}-1 = \frac{a^2-(b-1)^2}{(b-1)^2} = \frac{(a-b+1)(a+b-1)}{(b-1)^2}$$
$$\frac{a^2}{(b-1)^2}-\frac{a}{b-1}+1 = \frac{a^2-a(b-1)+(b-1)^2}{(b-1)^2} = \frac{a^2-ab+a+b^2-2b+1}{(b-1)^2}$$
Подставим полученные выражения в данную дробь:
$$\frac{ \frac{(a+b-1)\bigl(a^2-ab+a+b^2-2b+1\bigr)}{(b-1)^3} \cdot \frac{a-b+1}{b-1} }{ \frac{(a-b+1)(a+b-1)}{(b-1)^2} \cdot \frac{a^2-ab+a+b^2-2b+1}{(b-1)^2} }$$
Сокращаем одинаковые множители:
$$\frac{(a+b-1)\bigl(a^2-ab+a+b^2-2b+1\bigr)(a-b+1)}{(b-1)^4} \cdot \frac{(b-1)^4}{(a-b+1)(a+b-1)\bigl(a^2-ab+a+b^2-2b+1\bigr)} =1$$
Следовательно, тождество верно.
Ответ
$$1$$
