Упр.39.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 39.18. Докажите тождество (a^3/(b-1)^3 +1)(a/(b-1)-1)/(a^2/(b-1)^2 -1)(a^2/(b-1)^2 -a/(b-1)+1) =1.

Преобразуем числитель и знаменатель, используя формулы суммы и разности кубов и квадратов:

$$ \frac{a^3}{(b-1)^3}+1 = \frac{a^3+(b-1)^3}{(b-1)^3} = \frac{(a+b-1)\bigl(a^2-ab+a+b^2-2b+1\bigr)}{(b-1)^3} $$

$$ \frac{a}{b-1}-1 = \frac{a-b+1}{b-1} $$

$$ \frac{a^2}{(b-1)^2}-1 = \frac{a^2-(b-1)^2}{(b-1)^2} = \frac{(a-b+1)(a+b-1)}{(b-1)^2} $$

$$ \frac{a^2}{(b-1)^2}-\frac{a}{b-1}+1 = \frac{a^2-a(b-1)+(b-1)^2}{(b-1)^2} = \frac{a^2-ab+a+b^2-2b+1}{(b-1)^2} $$

Подставим полученные выражения в данную дробь:

$$ \frac{ \frac{(a+b-1)\bigl(a^2-ab+a+b^2-2b+1\bigr)}{(b-1)^3} \cdot \frac{a-b+1}{b-1} }{ \frac{(a-b+1)(a+b-1)}{(b-1)^2} \cdot \frac{a^2-ab+a+b^2-2b+1}{(b-1)^2} } $$

Сокращаем одинаковые множители:

$$ \frac{(a+b-1)\bigl(a^2-ab+a+b^2-2b+1\bigr)(a-b+1)}{(b-1)^4} \cdot \frac{(b-1)^4}{(a-b+1)(a+b-1)\bigl(a^2-ab+a+b^2-2b+1\bigr)} =1 $$

Следовательно, тождество верно.

Ответ

$$ 1 $$