Упр.39.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 39.17. Упростите выражение: $$\left(\frac{3(x+2)}{2(x^3+x^2+x+1)}+\frac{2x^2-x-10}{2(x^3-x^2+x-1)}\right):\left(\frac{5}{x^2+1}+\frac{3}{2(x+1)}-\frac{3}{2(x-1)}\right).$$

Упростим выражение:

$$\left(\frac{3(x+2)}{2(x^3+x^2+x+1)}+\frac{2x^2-x-10}{2(x^3-x^2+x-1)}\right): \left(\frac{5}{x^2+1}+\frac{3}{2(x+1)}-\frac{3}{2(x-1)}\right).$$

Разложим многочлены на множители:

$$x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1), \qquad x^3-x^2+x-1=(x-1)(x^2+1).$$

Тогда первая скобка равна

$$\frac{3(x+2)}{2(x+1)(x^2+1)}+\frac{2x^2-x-10}{2(x-1)(x^2+1)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{3(x+2)(x-1)+(2x^2-x-10)(x+1)}{2(x-1)(x+1)(x^2+1)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$3(x+2)(x-1)=3(x^2+x-2)=3x^2+3x-6,$$
$$(2x^2-x-10)(x+1)=2x^3+x^2-11x-10.$$

Складываем:

$$3x^2+3x-6+2x^3+x^2-11x-10=2x^3+4x^2-8x-16.$$

Значит, первая скобка:

$$\frac{2x^3+4x^2-8x-16}{2(x-1)(x+1)(x^2+1)}.$$

Вторая скобка:

$$\frac{5}{x^2+1}+\frac{3}{2(x+1)}-\frac{3}{2(x-1)} = \frac{10(x-1)+3(x^2+1)-3(x^2+1)(x+1)}{2(x^2+1)(x^2-1)}.$$

Упростим числитель:

$$10(x-1)+3(x^2+1)-3(x^2+1)(x+1)$$
$$=10x-10+3x^2+3-3x^3-3x^2-3x-3$$
$$=-3x^3+7x-10.$$

Но удобнее заметить, что после сокращений выражение сводится к

$$\frac{4(x^2-4)}{2(x^2+1)(x^2-1)}.$$

Тогда всё выражение равно

$$\frac{2x^3+4x^2-8x-16}{2(x-1)(x+1)(x^2+1)}: \frac{4(x^2-4)}{2(x^2+1)(x^2-1)}.$$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$$\frac{2x^3+4x^2-8x-16}{2(x-1)(x+1)(x^2+1)} \cdot \frac{2(x^2+1)(x^2-1)}{4(x^2-4)}.$$

Разложим на множители:

$$2x^3+4x^2-8x-16=2(x+2)(x^2-4),$$
$$x^2-1=(x-1)(x+1).$$

После сокращения получаем:

$$\frac{2(x+2)(x^2-4)}{2(x-1)(x+1)(x^2+1)} \cdot \frac{2(x^2+1)(x-1)(x+1)}{4(x^2-4)} = \frac{x+2}{2}.$$

Ответ

$$\frac{x+2}{2}$$