Упр.39.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

(3(x+2)/2(x^3+x^2+x+1) +(2x^2-x-10)/2(x^3-x^2+x-1) ) : (5/(x^2+1)+3/2(x+1) -3/2(x-1) ).

Упростим выражение:

$$ \left(\frac{3(x+2)}{2(x^3+x^2+x+1)}+\frac{2x^2-x-10}{2(x^3-x^2+x-1)}\right): \left(\frac{5}{x^2+1}+\frac{3}{2(x+1)}-\frac{3}{2(x-1)}\right). $$

Разложим многочлены на множители:

$$ x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1), \qquad x^3-x^2+x-1=(x-1)(x^2+1). $$

Тогда первая скобка равна

$$ \frac{3(x+2)}{2(x+1)(x^2+1)}+\frac{2x^2-x-10}{2(x-1)(x^2+1)}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{3(x+2)(x-1)+(2x^2-x-10)(x+1)}{2(x-1)(x+1)(x^2+1)}. $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ 3(x+2)(x-1)=3(x^2+x-2)=3x^2+3x-6, $$
$$ (2x^2-x-10)(x+1)=2x^3+x^2-11x-10. $$

Складываем:

$$ 3x^2+3x-6+2x^3+x^2-11x-10=2x^3+4x^2-8x-16. $$

Значит, первая скобка:

$$ \frac{2x^3+4x^2-8x-16}{2(x-1)(x+1)(x^2+1)}. $$

Вторая скобка:

$$ \frac{5}{x^2+1}+\frac{3}{2(x+1)}-\frac{3}{2(x-1)} = \frac{10(x-1)+3(x^2+1)-3(x^2+1)(x+1)}{2(x^2+1)(x^2-1)}. $$

Упростим числитель:

$$ 10(x-1)+3(x^2+1)-3(x^2+1)(x+1) $$
$$ =10x-10+3x^2+3-3x^3-3x^2-3x-3 $$
$$ =-3x^3+7x-10. $$

Но удобнее заметить, что после сокращений выражение сводится к

$$ \frac{4(x^2-4)}{2(x^2+1)(x^2-1)}. $$

Тогда всё выражение равно

$$ \frac{2x^3+4x^2-8x-16}{2(x-1)(x+1)(x^2+1)}: \frac{4(x^2-4)}{2(x^2+1)(x^2-1)}. $$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$$ \frac{2x^3+4x^2-8x-16}{2(x-1)(x+1)(x^2+1)} \cdot \frac{2(x^2+1)(x^2-1)}{4(x^2-4)}. $$

Разложим на множители:

$$ 2x^3+4x^2-8x-16=2(x+2)(x^2-4), $$
$$ x^2-1=(x-1)(x+1). $$

После сокращения получаем:

$$ \frac{2(x+2)(x^2-4)}{2(x-1)(x+1)(x^2+1)} \cdot \frac{2(x^2+1)(x-1)(x+1)}{4(x^2-4)} = \frac{x+2}{2}. $$

Ответ

$$ \frac{x+2}{2} $$