Упр.39.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 39.16. Докажите, что значение выражения положительно при всех допустимых значениях переменных:
   1) $$\frac{2}{(a+b)^3}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{a^2+b^2+2ab}\cdot\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right);$$
   2) $$\left(\frac{a^2}{4b^3}+\frac{2}{a}\right):\left(\frac{a}{2b^2}-\frac{1}{b}+\frac{2}{a}\right):\frac{(a-2b)^2+8ab}{4+\frac{2a}{b}}.$$

1. Преобразуем первое выражение:
   $$\frac{2}{(a+b)^3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{a^2+b^2+2ab}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right).$$

   Так как $$a^2+b^2+2ab=(a+b)^2,$$ а
   $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}, \qquad \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2},$$
   получаем
   $$\frac{2}{(a+b)^3}\cdot \frac{a+b}{ab}+\frac{1}{(a+b)^2}\cdot \frac{a^2+b^2}{a^2b^2} = \frac{2}{ab(a+b)^2}+\frac{a^2+b^2}{a^2b^2(a+b)^2}.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{2ab+a^2+b^2}{a^2b^2(a+b)^2} = \frac{(a+b)^2}{a^2b^2(a+b)^2} = \frac{1}{a^2b^2}.$$

   Следовательно,
   $$\frac{1}{a^2b^2}>0$$
   при всех допустимых значениях переменных, так как $$a\neq 0$$ и $$b\neq 0$$.

2. Преобразуем второе выражение:
   $$\left(\frac{a^2}{4b^3}+\frac{2}{a}\right):\left(\frac{a}{2b^2}-\frac{1}{b}+\frac{2}{a}\right):\frac{(a-2b)^2+8ab}{4+\frac{2a}{b}}.$$

   Упростим каждую скобку:
   $$\frac{a^2}{4b^3}+\frac{2}{a}=\frac{a^3+8b^3}{4ab^3},$$
   $$\frac{a}{2b^2}-\frac{1}{b}+\frac{2}{a} = \frac{a^2-2ab+4b^2}{2ab^2},$$
   $$\frac{(a-2b)^2+8ab}{4+\frac{2a}{b}} = \frac{a^2+4ab+4b^2}{\frac{4b+2a}{b}} = \frac{b(a+2b)^2}{2(a+2b)}.$$

   Тогда всё выражение равно
   $$\frac{a^3+8b^3}{4ab^3}:\frac{a^2-2ab+4b^2}{2ab^2}:\frac{b(a+2b)^2}{2(a+2b)}.$$

   Используем разложение
   $$a^3+8b^3=(a+2b)(a^2-2ab+4b^2),$$
   и после сокращения получаем
   $$\frac{1}{b^2}.$$

   Значит,
   $$\frac{1}{b^2}>0$$
   при всех допустимых значениях переменных, так как $$b\neq 0$$.

Ответ

1) $$\frac{1}{a^2b^2}>0$$; 2) $$\frac{1}{b^2}>0$$.