Упр.39.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)
- Упростите выражение:
1) $$\left(\frac{1}{2-a}+\frac{6a-4-a^2}{a^3-8}-\frac{2-a}{a^2+2a+4}\right)\cdot\frac{a^3+4a^2+8a+8}{4-4a+a^2-a^3}$$;
2) $$\left(\frac{x-2y}{x^3+y^3}+\frac{y}{x^3-x^2y+xy^2}\right):\frac{x^2+y^2}{x^3-xy^2}+\frac{2y^2}{x^3+x^2y+xy^2+y^3}$$;
3) $$\frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{b-c}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b-c}}\cdot\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right):\frac{b-a-c}{abc}$$.
$$\left(\frac{1}{2-a}+\frac{6a-4-a^2}{a^3-8}-\frac{2-a}{a^2+2a+4}\right)\cdot\frac{a^3+4a^2+8a+8}{4-4a+a^2-a^3}$$
Разложим многочлены на множители:
$$a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4), \quad a^3+4a^2+8a+8=(a+2)(a^2+2a+4),$$
$$4-4a+a^2-a^3=(2-a)(4+2a+a^2).$$Тогда
$$\left(\frac{1}{2-a}+\frac{6a-4-a^2}{(a-2)(a^2+2a+4)}-\frac{2-a}{a^2+2a+4}\right)\cdot \frac{(a+2)(a^2+2a+4)}{(2-a)(a^2+2a+4)}.$$Приведём выражение в скобках к общему знаменателю и упростим:
$$\frac{a+2}{(2-a)(1-a)}.$$Следовательно,
$$\frac{a+2}{(2-a)(1-a)}.$$$$\left(\frac{x-2y}{x^3+y^3}+\frac{y}{x^3-x^2y+xy^2}\right):\frac{x^2+y^2}{x^3-xy^2}+\frac{2y^2}{x^3+x^2y+xy^2+y^3}$$
Разложим знаменатели:
$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2),$$
$$x^3-x^2y+xy^2=x(x^2-xy+y^2),$$
$$x^3-xy^2=x(x-y)(x+y),$$
$$x^3+x^2y+xy^2+y^3=(x+y)(x^2+y^2).$$После преобразований получаем:
$$\frac{x-y}{x^2+y^2}\cdot\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\frac{2y^2}{(x+y)(x^2+y^2)}.$$Упрощая, имеем:
$$\frac{1}{x+y}.$$$$\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b-c}\right)\Big/\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b-c}\right)\cdot \left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right):\frac{b-a-c}{abc}$$
Преобразуем первую дробь:
$$\frac{\frac{b-c-a}{a(b-c)}}{\frac{b-c+a}{a(b-c)}}=\frac{b-c-a}{b-c+a}.$$Вторую скобку упростим:
$$1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc} =\frac{a^2-(b-c)^2}{2bc}.$$Деление на дробь заменим умножением на обратную:
$$\frac{b-c-a}{b-c+a}\cdot\frac{a^2-(b-c)^2}{2bc}\cdot\frac{abc}{b-a-c}.$$Так как
$$a^2-(b-c)^2=(a-b+c)(a+b-c),$$
после сокращения получаем:
$$\frac{a(a-b+c)}{2}.$$
Ответ
1) $$\frac{a+2}{(2-a)(1-a)}$$
2) $$\frac{1}{x+y}$$
3) $$\frac{a(a-b+c)}{2}$$
