Упр.39.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

1) (1/(2-a)+(6a-4-a^2)/(a^3-8)-(2-a)/(a^2+2a+4))·(a^3+4a^2+8a+8)/(4-4a+a^2-a^3 );
2) ((x-2y)/(x^3+y^3 )+y/(x^3-x^2 y+xy^2 )) : (x^2+y^2)/(x^3-xy^2 )+(2y^2)/(x^3+x^2 y+xy^2+y^3 );
3) (1/a-1/(b-c))/(1/a+1/(b-c))·(1-(b^2+c^2-a^2)/2bc) : (b-a-c)/abc.

Подробный ответ

$$\left(\frac{1}{2-a}+\frac{6a-4-a^2}{a^3-8}-\frac{2-a}{a^2+2a+4}\right)\cdot\frac{a^3+4a^2+8a+8}{4-4a+a^2-a^3}$$
Разложим многочлены на множители:
$$a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4), \quad a^3+4a^2+8a+8=(a+2)(a^2+2a+4),$$
$$4-4a+a^2-a^3=(2-a)(4+2a+a^2).$$
Тогда
$$ \left(\frac{1}{2-a}+\frac{6a-4-a^2}{(a-2)(a^2+2a+4)}-\frac{2-a}{a^2+2a+4}\right)\cdot \frac{(a+2)(a^2+2a+4)}{(2-a)(a^2+2a+4)}. $$
Приведём выражение в скобках к общему знаменателю и упростим:
$$ \frac{a+2}{(2-a)(1-a)}. $$
Следовательно,
$$ \frac{a+2}{(2-a)(1-a)}. $$
$$ \left(\frac{x-2y}{x^3+y^3}+\frac{y}{x^3-x^2y+xy^2}\right):\frac{x^2+y^2}{x^3-xy^2}+\frac{2y^2}{x^3+x^2y+xy^2+y^3} $$
Разложим знаменатели:
$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2),$$
$$x^3-x^2y+xy^2=x(x^2-xy+y^2),$$
$$x^3-xy^2=x(x-y)(x+y),$$
$$x^3+x^2y+xy^2+y^3=(x+y)(x^2+y^2).$$
После преобразований получаем:
$$ \frac{x-y}{x^2+y^2}\cdot\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\frac{2y^2}{(x+y)(x^2+y^2)}. $$
Упрощая, имеем:
$$ \frac{1}{x+y}. $$
$$ \left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b-c}\right)\Big/\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b-c}\right)\cdot \left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right):\frac{b-a-c}{abc} $$
Преобразуем первую дробь:
$$ \frac{\frac{b-c-a}{a(b-c)}}{\frac{b-c+a}{a(b-c)}}=\frac{b-c-a}{b-c+a}. $$
Вторую скобку упростим:
$$ 1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc} =\frac{a^2-(b-c)^2}{2bc}. $$
Деление на дробь заменим умножением на обратную:
$$ \frac{b-c-a}{b-c+a}\cdot\frac{a^2-(b-c)^2}{2bc}\cdot\frac{abc}{b-a-c}. $$
Так как
$$ a^2-(b-c)^2=(a-b+c)(a+b-c), $$
после сокращения получаем:
$$ \frac{a(a-b+c)}{2}. $$