Упр.39.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение $$\frac{b^2+9}{3b^2-b^3}+\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{b-3}+\frac{6}{9-b^2}-\frac{3}{b^2+3b}\right)$$ принимает положительные значения.

Преобразуем выражение:

$$\frac{b^2+9}{3b^2-b^3}+\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2\left(\frac{1}{b-3}+\frac{6}{9-b^2}-\frac{3}{b^2+3b}\right)$$

Заметим, что

$$9-b^2=(3-b)(3+b)=-(b-3)(b+3), \qquad b^2+3b=b(b+3), \qquad 3b^2-b^3=b^2(3-b).$$

Тогда

$$\frac{1}{b-3}+\frac{6}{9-b^2}-\frac{3}{b^2+3b} = \frac{1}{b-3}-\frac{6}{(b-3)(b+3)}-\frac{3}{b(b+3)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{b-3}-\frac{6}{(b-3)(b+3)}-\frac{3}{b(b+3)} = \frac{b(b+3)-6b-3(b-3)}{b(b-3)(b+3)}.$$

Числитель упрощается:

$$b(b+3)-6b-3(b-3)=b^2+3b-6b-3b+9=b^2-6b+9=(b-3)^2.$$

Значит,

$$\frac{1}{b-3}+\frac{6}{9-b^2}-\frac{3}{b^2+3b} = \frac{(b-3)^2}{b(b-3)(b+3)}.$$

Тогда всё выражение равно

$$\frac{b^2+9}{b^2(3-b)}+\frac{(b+3)^2}{(b-3)^2}\cdot \frac{(b-3)^2}{b(b-3)(b+3)} = \frac{b^2+9}{b^2(3-b)}+\frac{b+3}{b(b-3)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{b^2+9}{b^2(3-b)}+\frac{b+3}{b(b-3)} = \frac{b^2+9}{b^2(3-b)}-\frac{b(b+3)}{b^2(3-b)}.$$

Получаем

$$\frac{b^2+9-b(b+3)}{b^2(3-b)} = \frac{b^2+9-b^2-3b}{b^2(3-b)} = \frac{9-3b}{b^2(3-b)} = \frac{3(3-b)}{b^2(3-b)} = \frac{3}{b^2}.$$

Так как при допустимых значениях переменной $$b\neq 0$$, то $$b^2>0$$. Следовательно,

$$\frac{3}{b^2}>0.$$

Ответ

Выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях переменной, так как оно равно $$\frac{3}{b^2}$$.