Упр.39.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

39.13. Докажите тождество:

1) $$\frac{16}{(a-2)^4}:\left(\frac{1}{(a-2)^2}-\frac{2}{a^2-4}+\frac{1}{(a+2)^2}\right)-\frac{8a}{(a-2)^2}=1;$$
2) $$\frac{a+11}{a+9}-\left(\frac{a+5}{a^2-81}+\frac{a+7}{a^2-18a+81}\right):\left(\frac{a+3}{a-9}\right)^2=1;$$
3) $$\left(a^2-b^2-\frac{4a^2b-4ab^2}{a+b}\right):\left(\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b-a}-\frac{2ab}{a^2-b^2}\right)=(a-b)^2.$$

1. $$\frac{16}{(a-2)^4}:\left(\frac{1}{(a-2)^2}-\frac{2}{a^2-4}+\frac{1}{(a+2)^2}\right)-\frac{8a}{(a-2)^2}$$

   Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

   $$\frac{1}{(a-2)^2}-\frac{2}{a^2-4}+\frac{1}{(a+2)^2} = \frac{(a+2)^2-2(a-2)(a+2)+(a-2)^2}{(a-2)^2(a+2)^2}$$

   $$=\frac{a^2+4a+4-2(a^2-4)+a^2-4a+4}{(a-2)^2(a+2)^2} =\frac{16}{(a-2)^2(a+2)^2}$$

   Тогда

   $$\frac{16}{(a-2)^4}:\frac{16}{(a-2)^2(a+2)^2}-\frac{8a}{(a-2)^2} = \frac{(a+2)^2}{(a-2)^2}-\frac{8a}{(a-2)^2}$$

   $$=\frac{a^2+4a+4-8a}{(a-2)^2} =\frac{a^2-4a+4}{(a-2)^2} =\frac{(a-2)^2}{(a-2)^2}=1$$

2. $$\frac{a+11}{a+9}-\left(\frac{a+5}{a^2-81}+\frac{a+7}{a^2-18a+81}\right):\left(\frac{a+3}{a-9}\right)^2$$

   Разложим знаменатели:

   $$a^2-81=(a-9)(a+9), \qquad a^2-18a+81=(a-9)^2$$

   Тогда

   $$\frac{a+5}{(a-9)(a+9)}+\frac{a+7}{(a-9)^2} = \frac{(a+5)(a-9)+(a+7)(a+9)}{(a-9)^2(a+9)}$$

   $$=\frac{a^2-4a-45+a^2+16a+63}{(a-9)^2(a+9)} =\frac{2a^2+12a+18}{(a-9)^2(a+9)} =\frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)}$$

   Делим на квадрат дроби:

   $$\left(\frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)}\right):\left(\frac{a+3}{a-9}\right)^2 = \frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)}\cdot\frac{(a-9)^2}{(a+3)^2} = \frac{2}{a+9}$$

   Тогда всё выражение равно

   $$\frac{a+11}{a+9}-\frac{2}{a+9} = \frac{a+9}{a+9}=1$$

3. $$\left(a^2-b^2-\frac{4a^2b-4ab^2}{a+b}\right): \left(\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b-a}-\frac{2ab}{a^2-b^2}\right)$$

   Преобразуем первую скобку:

   $$a^2-b^2-\frac{4a^2b-4ab^2}{a+b} = (a-b)(a+b)-\frac{4ab(a-b)}{a+b}$$

   $$= \frac{(a-b)(a+b)^2-4ab(a-b)}{a+b} = \frac{(a-b)\bigl((a+b)^2-4ab\bigr)}{a+b} = \frac{(a-b)^3}{a+b}$$

   Преобразуем вторую скобку:

   $$\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b-a}-\frac{2ab}{a^2-b^2} = \frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b}-\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}$$

   $$= \frac{a(a-b)+b(a+b)-2ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2-2ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a-b}{a+b}$$

   Тогда

   $$\frac{(a-b)^3}{a+b}:\frac{a-b}{a+b} = (a-b)^2$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$1$$; 3) $$(a-b)^2$$.