Упр.39.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 39.11. Упростите выражение:
   1) $$\left(\frac{a^2}{b^3-ab^2}+\frac{a-b}{b^2}-\frac{1}{b}\right):\left(\frac{a+b}{b-a}-\frac{b-a}{a+b}+\frac{6a^2}{a^2-b^2}\right);$$
   2) $$\left(\frac{a+2}{4a^3-4a^2+a}-\frac{2-a}{1-8a^3}\cdot\frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a}\right):\left(\frac{1}{1-2a}\right)^2-\frac{8a-1}{2a^2+a};$$
   3) $$(a^2-b^2)\cdot\left(\frac{2a^2b+2ab^2}{7a^3+a^2b+7ab^2+b^3}\cdot\frac{7a+b}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{a^2+b^2}\right).$$

1. $$\left(\frac{a^2}{b^3-ab^2}+\frac{a-b}{b^2}-\frac1b\right):\left(\frac{a+b}{b-a}-\frac{b-a}{a+b}+\frac{6a^2}{a^2-b^2}\right)$$

   Разложим знаменатели на множители:
   $$b^3-ab^2=b^2(b-a), \qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

   Тогда
   $$\frac{a^2}{b^2(b-a)}+\frac{a-b}{b^2}-\frac1b =\frac{a^2+(a-b)(b-a)-b(b-a)}{b^2(b-a)} =\frac{a^2-a^2+2ab-b^2}{b^2(b-a)} =\frac{2ab-b^2}{b^2(b-a)}.$$

   Вторую скобку преобразуем:
   $$\frac{a+b}{b-a}-\frac{b-a}{a+b}+\frac{6a^2}{a^2-b^2} =\frac{a+b}{b-a}-\frac{b-a}{a+b}-\frac{6a^2}{(b-a)(b+a)}.$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{(a+b)^2-(b-a)^2-6a^2}{(b-a)(b+a)} =\frac{4ab-6a^2}{(b-a)(b+a)} =\frac{2a(2b-3a)}{(b-a)(b+a)}.$$

   Теперь делим дроби:
   $$\frac{2ab-b^2}{b^2(b-a)}:\frac{2a(2b-3a)}{(b-a)(b+a)} =\frac{b(2a-b)}{b^2(b-a)}\cdot\frac{(b-a)(b+a)}{2a(2b-3a)}.$$
   Сокращаем:
   $$=\frac{(2a-b)(a+b)}{2ab(2b-3a)}.$$

2. $$\left(\frac{a+2}{4a^3-4a^2+a}-\frac{2-a}{1-8a^3}\cdot\frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a}\right):\left(\frac1{1-2a}\right)^2-\frac{8a-1}{2a^2+a}$$

   Разложим знаменатели:
   $$4a^3-4a^2+a=a(2a-1)^2,\qquad 1-8a^3=(1-2a)(4a^2+2a+1),$$
   $$2a^2+a=a(2a+1).$$

   Тогда
   $$\frac{a+2}{a(2a-1)^2}-\frac{2-a}{(1-2a)(4a^2+2a+1)}\cdot\frac{4a^2+2a+1}{a(2a+1)} = \frac{a+2}{a(2a-1)^2}+\frac{a-2}{a(2a-1)(2a+1)}.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{(a+2)(2a+1)+(a-2)(2a-1)}{a(2a-1)^2(2a+1)} =\frac{6a}{a(2a-1)^2(2a+1)}.$$

   Делим на
   $$\left(\frac1{1-2a}\right)^2-\frac{8a-1}{2a^2+a} =\frac1{(2a-1)^2}-\frac{8a-1}{a(2a+1)}.$$
   После приведения к общему знаменателю получаем
   $$\frac{10a-8a+1}{a(2a+1)}=\frac{2a+1}{a(2a+1)}=\frac1a.$$

3. $$(a^2-b^2)\cdot\left(\frac{2a^2b+2ab^2}{7a^3+a^2b+7ab^2+b^3}\cdot\frac{7a+b}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{a^2+b^2}\right)$$

   Разложим:
   $$2a^2b+2ab^2=2ab(a+b),$$
   $$7a^3+a^2b+7ab^2+b^3=(7a+b)(a^2+b^2).$$

   Тогда
   $$\frac{2a^2b+2ab^2}{7a^3+a^2b+7ab^2+b^3}\cdot\frac{7a+b}{a^2-b^2} =\frac{2ab(a+b)}{(7a+b)(a^2+b^2)}\cdot\frac{7a+b}{a^2-b^2} =\frac{2ab(a+b)}{(a^2+b^2)(a^2-b^2)}.$$

   Поэтому
   $$(a^2-b^2)\left(\frac{2ab(a+b)}{(a^2+b^2)(a^2-b^2)}+\frac{a-b}{a^2+b^2}\right) = \frac{2ab(a+b)}{a^2+b^2}+\frac{(a^2-b^2)(a-b)}{a^2+b^2}.$$

   Вынесем общий знаменатель:
   $$\frac{2ab(a+b)+(a^2-b^2)(a-b)}{a^2+b^2} = \frac{2ab(a+b)+(a-b)^2(a+b)}{a^2+b^2} = \frac{(a+b)\bigl(2ab+(a-b)^2\bigr)}{a^2+b^2}.$$
   Так как
   $$2ab+(a-b)^2=a^2+b^2,$$
   получаем
   $$a+b.$$

Ответ

1) $$\frac{(2a-b)(a+b)}{2ab(2b-3a)}$$

2) $$\frac1a$$

3) $$a+b$$