Упр.39.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

1) (a^2/(b^3-ab^2 )+(a-b)/b^2 -1/b) : ((a+b)/(b-a)-(b-a)/(a+b)+(6a^2)/(a^2-b^2 ));
2) ((a+2)/(4a^3-4a^2+a)-(2-a)/(1-8a^3 )·(4a^2+2a+1)/(2a^2+a)) : (1/(1-2a))^2-(8a-1)/(2a^2+a);
3) (a^2-b^2 )·((2a^2 b+2ab^2)/(7a^3+a^2 b+7ab^2+b^3 )·(7a+b)/(a^2-b^2 )+(a-b)/(a^2+b^2 )).

Подробный ответ

$$\left(\frac{a^2}{b^3-ab^2}+\frac{a-b}{b^2}-\frac1b\right):\left(\frac{a+b}{b-a}-\frac{b-a}{a+b}+\frac{6a^2}{a^2-b^2}\right)$$
Разложим знаменатели на множители:
$$b^3-ab^2=b^2(b-a), \qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$
Тогда
$$ \frac{a^2}{b^2(b-a)}+\frac{a-b}{b^2}-\frac1b =\frac{a^2+(a-b)(b-a)-b(b-a)}{b^2(b-a)} =\frac{a^2-a^2+2ab-b^2}{b^2(b-a)} =\frac{2ab-b^2}{b^2(b-a)}. $$
Вторую скобку преобразуем:
$$ \frac{a+b}{b-a}-\frac{b-a}{a+b}+\frac{6a^2}{a^2-b^2} =\frac{a+b}{b-a}-\frac{b-a}{a+b}-\frac{6a^2}{(b-a)(b+a)}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{(a+b)^2-(b-a)^2-6a^2}{(b-a)(b+a)} =\frac{4ab-6a^2}{(b-a)(b+a)} =\frac{2a(2b-3a)}{(b-a)(b+a)}. $$
Теперь делим дроби:
$$ \frac{2ab-b^2}{b^2(b-a)}:\frac{2a(2b-3a)}{(b-a)(b+a)} =\frac{b(2a-b)}{b^2(b-a)}\cdot\frac{(b-a)(b+a)}{2a(2b-3a)}. $$
Сокращаем:
$$ =\frac{(2a-b)(a+b)}{2ab(2b-3a)}. $$
$$\left(\frac{a+2}{4a^3-4a^2+a}-\frac{2-a}{1-8a^3}\cdot\frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a}\right):\left(\frac1{1-2a}\right)^2-\frac{8a-1}{2a^2+a}$$
Разложим знаменатели:
$$ 4a^3-4a^2+a=a(2a-1)^2,\qquad 1-8a^3=(1-2a)(4a^2+2a+1), $$
$$2a^2+a=a(2a+1).$$
Тогда
$$ \frac{a+2}{a(2a-1)^2}-\frac{2-a}{(1-2a)(4a^2+2a+1)}\cdot\frac{4a^2+2a+1}{a(2a+1)} = \frac{a+2}{a(2a-1)^2}+\frac{a-2}{a(2a-1)(2a+1)}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{(a+2)(2a+1)+(a-2)(2a-1)}{a(2a-1)^2(2a+1)} =\frac{6a}{a(2a-1)^2(2a+1)}. $$
Делим на
$$ \left(\frac1{1-2a}\right)^2-\frac{8a-1}{2a^2+a} =\frac1{(2a-1)^2}-\frac{8a-1}{a(2a+1)}. $$
После приведения к общему знаменателю получаем
$$ \frac{10a-8a+1}{a(2a+1)}=\frac{2a+1}{a(2a+1)}=\frac1a. $$
$$(a^2-b^2)\cdot\left(\frac{2a^2b+2ab^2}{7a^3+a^2b+7ab^2+b^3}\cdot\frac{7a+b}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{a^2+b^2}\right)$$
Разложим:
$$ 2a^2b+2ab^2=2ab(a+b), $$
$$ 7a^3+a^2b+7ab^2+b^3=(7a+b)(a^2+b^2). $$
Тогда
$$ \frac{2a^2b+2ab^2}{7a^3+a^2b+7ab^2+b^3}\cdot\frac{7a+b}{a^2-b^2} =\frac{2ab(a+b)}{(7a+b)(a^2+b^2)}\cdot\frac{7a+b}{a^2-b^2} =\frac{2ab(a+b)}{(a^2+b^2)(a^2-b^2)}. $$
Поэтому
$$ (a^2-b^2)\left(\frac{2ab(a+b)}{(a^2+b^2)(a^2-b^2)}+\frac{a-b}{a^2+b^2}\right) = \frac{2ab(a+b)}{a^2+b^2}+\frac{(a^2-b^2)(a-b)}{a^2+b^2}. $$
Вынесем общий знаменатель:
$$ \frac{2ab(a+b)+(a^2-b^2)(a-b)}{a^2+b^2} = \frac{2ab(a+b)+(a-b)^2(a+b)}{a^2+b^2} = \frac{(a+b)\bigl(2ab+(a-b)^2\bigr)}{a^2+b^2}. $$
Так как
$$ 2ab+(a-b)^2=a^2+b^2, $$
получаем
$$ a+b. $$