Упр.39.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 39.10. Упростите выражение:
   
   1) $$\frac{\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{a+b}-\frac{a-b}{a}}$$;
   
   2) $$\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{a+1}}}$$.

1. Упростим выражение

   $$\frac{\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{a+b}-\frac{a-b}{a}}.$$

   Приведём числитель и знаменатель дроби к общему знаменателю:

   $$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}=\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)}=\frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)}=\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}.$$

   $$\frac{a}{a+b}-\frac{a-b}{a}=\frac{a^2-(a-b)(a+b)}{a(a+b)}=\frac{a^2-(a^2-b^2)}{a(a+b)}=\frac{b^2}{a(a+b)}.$$

   Тогда

   $$\frac{\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}}{\frac{b^2}{a(a+b)}}=\frac{a^2+b^2}{b^2}.$$

2. Упростим выражение

   $$\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{a+1}}}.$$

   Сначала преобразуем внутреннюю дробь:

   $$1-\frac{1}{a+1}=\frac{a+1-1}{a+1}=\frac{a}{a+1}.$$

   Тогда

   $$\frac{1}{1-\frac{1}{\frac{a}{a+1}}}=\frac{1}{1-\frac{a+1}{a}}.$$

   Вычислим знаменатель:

   $$1-\frac{a+1}{a}=\frac{a-(a+1)}{a}=-\frac{1}{a}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{1}{-\frac{1}{a}}=-a.$$

Ответ

1) $$\frac{a^2+b^2}{b^2}$$; 2) $$-a$$.