Упр.39.1 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1) (a+2)/(a^2-2a+1) : (a^2-4)/(3a-3)-3/(a-2);
2) (b^2+3b)/(b^3+9b)·((b-3)/(b+3)+(b+3)/(b-3));
3) (1/(a^2-4ab+4b^2 )-1/(4b^2-a^2 )) : 2a/(a^2-4b^2 );
4) ((2x+1)/(x^2+6x+9)-(x-2)/(x^2+3x)) : (x^2+6)/(x^3-9x).

1. $$\frac{a+2}{a^2-2a+1}:\frac{a^2-4}{3a-3}-\frac{3}{a-2}$$

   Разложим на множители:
   $$a^2-2a+1=(a-1)^2,\quad a^2-4=(a-2)(a+2),\quad 3a-3=3(a-1).$$

   Тогда
   $$ \frac{a+2}{(a-1)^2}:\frac{(a-2)(a+2)}{3(a-1)}-\frac{3}{a-2} = \frac{a+2}{(a-1)^2}\cdot\frac{3(a-1)}{(a-2)(a+2)}-\frac{3}{a-2}. $$

   Сократим:
   $$ \frac{3}{(a-1)(a-2)}-\frac{3}{a-2} = \frac{3-3(a-1)}{(a-1)(a-2)} = \frac{6-3a}{(a-1)(a-2)} = -\frac{3(a-2)}{(a-1)(a-2)} = \frac{3}{1-a}. $$

2. $$\frac{b^2+3b}{b^3+9b}\cdot\left(\frac{b-3}{b+3}+\frac{b+3}{b-3}\right)$$

   Разложим на множители:
   $$b^2+3b=b(b+3),\quad b^3+9b=b(b^2+9).$$

   Тогда
   $$ \frac{b(b+3)}{b(b^2+9)}\cdot \frac{(b-3)^2+(b+3)^2}{(b-3)(b+3)} = \frac{b+3}{b^2+9}\cdot \frac{2b^2+18}{(b-3)(b+3)}. $$

   Так как $$2b^2+18=2(b^2+9),$$ получаем
   $$ \frac{b+3}{b^2+9}\cdot\frac{2(b^2+9)}{(b-3)(b+3)}=\frac{2}{b-3}. $$

3. $$\left(\frac{1}{a^2-4ab+4b^2}-\frac{1}{4b^2-a^2}\right):\frac{2a}{a^2-4b^2}$$

   Разложим знаменатели:
   $$a^2-4ab+4b^2=(a-2b)^2,\quad 4b^2-a^2=-(a-2b)(a+2b),\quad a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b).$$

   Тогда
   $$ \left(\frac{1}{(a-2b)^2}+\frac{1}{(a-2b)(a+2b)}\right)\cdot\frac{a^2-4b^2}{2a}. $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{a+2b+a-2b}{(a-2b)^2(a+2b)}\cdot\frac{(a-2b)(a+2b)}{2a} = \frac{2a}{(a-2b)^2(a+2b)}\cdot\frac{(a-2b)(a+2b)}{2a} = \frac{1}{a-2b}. $$

4. $$\left(\frac{2x+1}{x^2+6x+9}-\frac{x-2}{x^2+3x}\right):\frac{x^2+6}{x^3-9x}$$

   Разложим на множители:
   $$x^2+6x+9=(x+3)^2,\quad x^2+3x=x(x+3),\quad x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3).$$

   Тогда
   $$ \left(\frac{2x+1}{(x+3)^2}-\frac{x-2}{x(x+3)}\right)\cdot\frac{x(x^2-9)}{x^2+6}. $$

   Приведём разность к общему знаменателю:
   $$ \frac{x(2x+1)-(x-2)(x+3)}{x(x+3)^2}\cdot\frac{x(x^2-9)}{x^2+6}. $$

   Числитель:
   $$ x(2x+1)-(x-2)(x+3)=2x^2+x-(x^2+x-6)=x^2+6. $$

   Тогда
   $$ \frac{x^2+6}{x(x+3)^2}\cdot\frac{x(x^2-9)}{x^2+6} = \frac{x^2-9}{(x+3)^2} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2} = \frac{x-3}{x+3}. $$

Ответ

1) $$\frac{3}{1-a}$$
2) $$\frac{2}{b-3}$$
3) $$\frac{1}{a-2b}$$
4) $$\frac{x-3}{x+3}$$