Упр.38.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

38. Докажите тождество: $$\frac{a^2+a}{2a-12}\cdot\frac{6a+6}{2a+12}:\frac{9a^3+18a^2+9a}{a^2-36}=\frac{1}{6}.$$

Преобразуем левую часть тождества:

$$\frac{a^2+a}{2a-12}\cdot \frac{6a+6}{2a+12}:\frac{9a^3+18a^2+9a}{a^2-36}$$

Разложим многочлены на множители:

$$a^2+a=a(a+1), \quad 2a-12=2(a-6), \quad 6a+6=6(a+1),$$
$$2a+12=2(a+6), \quad 9a^3+18a^2+9a=9a(a+1)^2, \quad a^2-36=(a-6)(a+6).$$

Тогда

$$\frac{a(a+1)}{2(a-6)}\cdot \frac{6(a+1)}{2(a+6)}:\frac{9a(a+1)^2}{(a-6)(a+6)}$$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$$\frac{a(a+1)}{2(a-6)}\cdot \frac{6(a+1)}{2(a+6)}\cdot \frac{(a-6)(a+6)}{9a(a+1)^2}$$

Сократим одинаковые множители:

$$\frac{6a(a+1)^2(a-6)(a+6)}{4(a-6)(a+6)\cdot 9a(a+1)^2} = \frac{6a}{36a} = \frac16.$$

Следовательно, тождество верно.

Ответ

$$\frac16$$