Упр.38.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

1) (8a^2)/(a-3b) : (6a^3)/(a^2-9b^2 )·3a/(4a+12b)=1;
2) (a^4-1000ab^3)/(a^2-2ab+b^2 )·(a^2-b^2)/(a^2 b-100b^3 ) : (a^3+10a^2 b+100ab^2)/(ab+10b^2 )=(a+b)/(a-b).

Подробный ответ

1) Преобразуем левую часть:

$$ \frac{8a^2}{a-3b}:\frac{6a^3}{a^2-9b^2}\cdot\frac{3a}{4a+12b} = \frac{8a^2}{a-3b}\cdot\frac{a^2-9b^2}{6a^3}\cdot\frac{3a}{4a+12b} $$

Разложим на множители:
$$ a^2-9b^2=(a-3b)(a+3b), \qquad 4a+12b=4(a+3b). $$
Тогда
$$ \frac{8a^2}{a-3b}\cdot\frac{(a-3b)(a+3b)}{6a^3}\cdot\frac{3a}{4(a+3b)} = \frac{8a^2\cdot 3a}{6a^3\cdot 4}=1. $$

Следовательно, тождество верно.

2) Преобразуем левую часть:

$$ \frac{a^4-1000ab^3}{a^2-2ab+b^2}\cdot \frac{a^2-b^2}{a^2b-100b^3}: \frac{a^3+10a^2b+100ab^2}{ab+10b^2} $$

Заменим деление умножением на обратную дробь и разложим выражения на множители:
$$ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2, $$
$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b), $$
$$ a^2b-100b^3=b(a^2-100b^2)=b(a-10b)(a+10b), $$
$$ a^3+10a^2b+100ab^2=a(a^2+10ab+100b^2), $$
$$ ab+10b^2=b(a+10b). $$

Тогда
$$ \frac{a(a^3-1000b^3)}{(a-b)^2}\cdot \frac{(a-b)(a+b)}{b(a-10b)(a+10b)}\cdot \frac{b(a+10b)}{a(a^2+10ab+100b^2)}. $$

Используем формулу разности кубов:
$$ a^3-1000b^3=a^3-(10b)^3=(a-10b)(a^2+10ab+100b^2). $$
Тогда после сокращения получаем
$$ \frac{a+b}{a-b}. $$

Следовательно, тождество верно.