Упр.38.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)
- 38.28. Докажите тождество:
1) $$\frac{8a^2}{a-3b}:\frac{6a^3}{a^2-9b^2}\cdot\frac{3a}{4a+12b}=1$$;
2) $$\frac{a^4-1000ab^3}{a^2-2ab+b^2}\cdot\frac{a^2-b^2}{a^2b-100b^3}:\frac{a^3+10a^2b+100ab^2}{ab+10b^2}=\frac{a+b}{a-b}$$.
1) Преобразуем левую часть:
$$\frac{8a^2}{a-3b}:\frac{6a^3}{a^2-9b^2}\cdot\frac{3a}{4a+12b} = \frac{8a^2}{a-3b}\cdot\frac{a^2-9b^2}{6a^3}\cdot\frac{3a}{4a+12b}$$
Разложим на множители:
$$a^2-9b^2=(a-3b)(a+3b), \qquad 4a+12b=4(a+3b).$$
Тогда
$$\frac{8a^2}{a-3b}\cdot\frac{(a-3b)(a+3b)}{6a^3}\cdot\frac{3a}{4(a+3b)} = \frac{8a^2\cdot 3a}{6a^3\cdot 4}=1.$$
Следовательно, тождество верно.
2) Преобразуем левую часть:
$$\frac{a^4-1000ab^3}{a^2-2ab+b^2}\cdot \frac{a^2-b^2}{a^2b-100b^3}: \frac{a^3+10a^2b+100ab^2}{ab+10b^2}$$
Заменим деление умножением на обратную дробь и разложим выражения на множители:
$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2,$$
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$
$$a^2b-100b^3=b(a^2-100b^2)=b(a-10b)(a+10b),$$
$$a^3+10a^2b+100ab^2=a(a^2+10ab+100b^2),$$
$$ab+10b^2=b(a+10b).$$
Тогда
$$\frac{a(a^3-1000b^3)}{(a-b)^2}\cdot \frac{(a-b)(a+b)}{b(a-10b)(a+10b)}\cdot \frac{b(a+10b)}{a(a^2+10ab+100b^2)}.$$
Используем формулу разности кубов:
$$a^3-1000b^3=a^3-(10b)^3=(a-10b)(a^2+10ab+100b^2).$$
Тогда после сокращения получаем
$$\frac{a+b}{a-b}.$$
Следовательно, тождество верно.
Ответ
1) $$1$$;
2) $$\frac{a+b}{a-b}$$.
