Упр.38.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 38.21. Упростите выражение ($$n$$ — натуральное число):
   1) $$\frac{x^{n+3}y^{4n-1}}{z^{n+4}}\cdot\frac{z^{2n+5}}{x^{n+1}y^{3n-2}}$$;
   2) $$\frac{(x^n-2y^n)^2+8x^ny^n}{x^{3n}-8y^{3n}}:\frac{x^{2n}-4y^{2n}}{(x^n+2y^n)^2-8x^ny^n}$$.

1) Упростим выражение:

$$\frac{x^{n+3}y^{4n-1}}{z^{n+4}}\cdot \frac{z^{2n+5}}{x^{n+1}y^{3n-2}} = x^{n+3-(n+1)}y^{4n-1-(3n-2)}z^{2n+5-(n+4)}.$$

$$x^{n+3-(n+1)}=x^2,\qquad y^{4n-1-(3n-2)}=y^{n+1},\qquad z^{2n+5-(n+4)}=z^{n+1}.$$

$$\frac{x^{n+3}y^{4n-1}}{z^{n+4}}\cdot \frac{z^{2n+5}}{x^{n+1}y^{3n-2}} = x^2y^{n+1}z^{n+1}.$$

2) Упростим выражение:

$$\frac{(x^n-2y^n)^2+8x^ny^n}{x^{3n}-8y^{3n}}:\frac{x^{2n}-4y^{2n}}{(x^n+2y^n)^2-8x^ny^n}.$$

Разложим на множители:

$$(x^n-2y^n)^2+8x^ny^n = x^{2n}-4x^ny^n+4y^{2n}+8x^ny^n = x^{2n}+4x^ny^n+4y^{2n} = (x^n+2y^n)^2,$$

$$x^{3n}-8y^{3n}=(x^n-2y^n)(x^{2n}+2x^ny^n+4y^{2n}),$$

$$x^{2n}-4y^{2n}=(x^n-2y^n)(x^n+2y^n),$$

$$(x^n+2y^n)^2-8x^ny^n = x^{2n}+4x^ny^n+4y^{2n}-8x^ny^n = x^{2n}-4x^ny^n+4y^{2n} = (x^n-2y^n)^2.$$

Тогда

$$\frac{(x^n+2y^n)^2}{(x^n-2y^n)(x^{2n}+2x^ny^n+4y^{2n})} : \frac{(x^n-2y^n)(x^n+2y^n)}{(x^n-2y^n)^2}$$

$$= \frac{(x^n+2y^n)^2}{(x^n-2y^n)(x^{2n}+2x^ny^n+4y^{2n})} \cdot \frac{(x^n-2y^n)^2}{(x^n-2y^n)(x^n+2y^n)}.$$

Сокращаем одинаковые множители:

$$= \frac{x^n+2y^n}{x^{2n}+2x^ny^n+4y^{2n}}.$$

Ответ

1) $$x^2y^{n+1}z^{n+1}$$

2) $$\frac{x^n+2y^n}{x^{2n}+2x^ny^n+4y^{2n}}$$