Упр.38.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

1) (a^(n+4) b^(3n+2))/c^(n+5) : (a^(n+3) b^(3n+1))/c^(n+8) ;
2) ((a^n+b^n )^2-4a^n b^n)/(a^3n+b^3n ) : (a^2n-b^2n)/((a^n-b^n )^2+4a^n b^n ).

Подробный ответ

$$\frac{a^{n+4}b^{3n+2}}{c^{n+5}}:\frac{a^{n+3}b^{3n+1}}{c^{n+8}}= \frac{a^{n+4}b^{3n+2}}{c^{n+5}}\cdot\frac{c^{n+8}}{a^{n+3}b^{3n+1}}.$$
Сократим степени с одинаковыми основаниями:
$$a^{n+4}:a^{n+3}=a,\quad b^{3n+2}:b^{3n+1}=b,\quad c^{n+8}:c^{n+5}=c^3.$$
Тогда
$$\frac{a^{n+4}b^{3n+2}}{c^{n+5}}:\frac{a^{n+3}b^{3n+1}}{c^{n+8}}=abc^3.$$
$$\frac{(a^n+b^n)^2-4a^nb^n}{a^{3n}+b^{3n}}:\frac{a^{2n}-b^{2n}}{(a^n-b^n)^2+4a^nb^n}.$$
Разложим на множители:
$$\begin{aligned} (a^n+b^n)^2-4a^nb^n&=a^{2n}-2a^nb^n+b^{2n}=(a^n-b^n)^2,\\ a^{3n}+b^{3n}&=(a^n+b^n)(a^{2n}-a^nb^n+b^{2n}),\\ a^{2n}-b^{2n}&=(a^n-b^n)(a^n+b^n),\\ (a^n-b^n)^2+4a^nb^n&=a^{2n}+2a^nb^n+b^{2n}=(a^n+b^n)^2. \end{aligned}$$
Тогда
$$\frac{(a^n-b^n)^2}{(a^n+b^n)(a^{2n}-a^nb^n+b^{2n})}:\frac{(a^n-b^n)(a^n+b^n)}{(a^n+b^n)^2}.$$
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$$\frac{(a^n-b^n)^2}{(a^n+b^n)(a^{2n}-a^nb^n+b^{2n})}\cdot \frac{(a^n+b^n)^2}{(a^n-b^n)(a^n+b^n)}.$$
Сокращаем:
$$\frac{a^n-b^n}{a^{2n}-a^nb^n+b^{2n}}.$$