Упр.370 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы выполнялось равенство:

   1) $$(\ast)^2 \cdot (\ast)^3 = 9a^2b^3c^5$$;

   2) $$(\ast)^3 \cdot (\ast)^4 = 16a^7b^6c^8$$;

   3) $$(\ast)^3 \cdot (\ast)^2 = -72m^8n^{11}$$;

   4) $$(\ast)^2 \cdot (\ast)^5 = 32x^{29}y^{21}z^9$$.

2. Докажите, что выражение $$7a^4(a+3)-a^3(21a+7a^2-3a^5)$$ принимает неотрицательные значения при всех значениях $$a$$.

1. $$9a^2b^3c^5=(3ac)^2\cdot (bc)^3$$
   Значит,
   $$(*)^2=(3ac)^2,\qquad (*)^3=(bc)^3.$$
   Подходящие одночлены:
   $$*=3ac,\quad *=bc.$$
2. $$16a^7b^6c^8=(ab^2)^3\cdot (2ac^2)^4$$
   Значит,
   $$(*)^3=(ab^2)^3,\qquad (*)^4=(2ac^2)^4.$$
   Подходящие одночлены:
   $$*=ab^2,\quad *=2ac^2.$$
3. $$-72m^8n^{11}=(-2n)^3\cdot (3m^4n^4)^2$$
   Значит,
   $$(*)^3=(-2n)^3,\qquad (*)^2=(3m^4n^4)^2.$$
   Подходящие одночлены:
   $$*=-2n,\quad *=3m^4n^4.$$
4. $$32x^{29}y^{21}z^9=(x^2y^3z^2)^2\cdot (2x^5y^3z)^5$$
   Значит,
   $$(*)^2=(x^2y^3z^2)^2,\qquad (*)^5=(2x^5y^3z)^5.$$
   Подходящие одночлены:
   $$*=x^2y^3z^2,\quad *=2x^5y^3z.$$

Упростим выражение:
$$7a^4(a+3)-a^3(21a+7a^2-3a^5).$$
Раскроем скобки:
$$7a^4(a+3)-a^3(21a+7a^2-3a^5) =7a^5+21a^4-21a^4-7a^5+3a^8 =3a^8.$$
Так как $$a^8\ge 0$$ при любом $$a$$, то
$$3a^8\ge 0.$$
Следовательно, выражение принимает неотрицательные значения при всех значениях $$a$$.

Ответ

1) $$3ac,\ bc$$; 2) $$ab^2,\ 2ac^2$$; 3) $$-2n,\ 3m^4n^4$$; 4) $$x^2y^3z^2,\ 2x^5y^3z$$;
$$7a^4(a+3)-a^3(21a+7a^2-3a^5)=3a^8\ge 0.$$