Упр.37.46 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 37.46. Докажите, что если $$xy+z=yz+x=zx+y$$, то $$(x-y)(y-z)(z-x)=0$$.

Из условия имеем:

$$xy+z=yz+x=zx+y.$$

Тогда можно записать попарно равенства:

$$xy+z=yz+x,$$

$$xy+z=zx+y,$$

$$yz+x=zx+y.$$

Из первого равенства:

$$xy-x=yz-z,$$

$$x(y-1)=z(y-1).$$

Следовательно, либо $$y-1=0,$$ либо $$x=z.$$

Из второго равенства:

$$xy-y=zx-z,$$

$$y(x-1)=z(x-1).$$

Следовательно, либо $$x-1=0,$$ либо $$y=z.$$

Из третьего равенства:

$$yz-y=zx-x,$$

$$y(z-1)=x(z-1).$$

Следовательно, либо $$z-1=0,$$ либо $$y=x.$$

В любом случае среди чисел $$x,\ y,\ z$$ найдутся равные, значит, один из множителей произведения $$\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)$$ равен нулю.

Следовательно,

$$\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=0.$$

Ответ

$$\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=0.$$