Упр.37.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

37. 40. Числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ таковы, что $$\frac{b+c-a}{a}=\frac{a+c-b}{b}=\frac{b+a-c}{c}$$. Какие значения может принимать выражение $$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$$?

Обозначим

$$\frac{b+c-a}{a}=\frac{a+c-b}{b}=\frac{a+b-c}{c}=t.$$

Тогда

$$b+c-a=at,\quad a+c-b=bt,\quad a+b-c=ct.$$

Сложим эти равенства:

$$2(a+b+c)=t(a+b+c).$$

Отсюда возможны два случая.

1. $$a+b+c\neq 0.$$

   Тогда $$t=2.$$ Следовательно,

   $$b+c-a=2a,\quad a+c-b=2b,\quad a+b-c=2c,$$

   то есть

   $$b+c=3a,\quad a+c=3b,\quad a+b=3c.$$

   Из этих равенств получаем $$a=b=c.$$ Тогда

   $$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{2a\cdot 2a\cdot 2a}{a\cdot a\cdot a}=8.$$

2. $$a+b+c=0.$$

   Тогда $$c=-a-b.$$ Подставим в выражение:

   $$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{(a+b)\bigl(b-a-b\bigr)\bigl(-a-b+a\bigr)}{ab(-a-b)}.$$

   Упростим:

   $$\frac{(a+b)(-a)(-b)}{-ab(a+b)}=-1.$$

Ответ

$$-1,\ 8$$