Упр.37.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 37.39. Числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ таковы, что $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$$. Докажите, что $$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}=3$$.

Из условия

$$\frac1a+\frac1b+\frac1c=0.$$

Выразим каждую дробь через две другие:

$$\frac1a=-\frac1b-\frac1c=-\frac{b+c}{bc}, \qquad bc=-a(b+c),$$

$$\frac1b=-\frac1a-\frac1c=-\frac{a+c}{ac}, \qquad ac=-b(a+c),$$

$$\frac1c=-\frac1a-\frac1b=-\frac{a+b}{ab}, \qquad ab=-c(a+b).$$

Тогда

$$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}$$

$$=\frac{-c(a+b)}{c^2}+\frac{-a(b+c)}{a^2}+\frac{-b(a+c)}{b^2}$$

$$=-\frac{a+b}{c}-\frac{b+c}{a}-\frac{a+c}{b}.$$

Умножим обе части на $$abc$$:

$$-ab(a+b)-bc(b+c)-ac(a+c)=3abc.$$

Раскроем скобки:

$$-a^2b-ab^2-b^2c-bc^2-a^2c-ac^2=3abc.$$

Сгруппируем:

$$-a^2(b+c)-b^2(a+c)-c^2(a+b)=3abc.$$

Но из условия $$a+b=-\frac{bc}{a}, \; b+c=-\frac{ac}{b}, \; a+c=-\frac{ab}{c}$$, поэтому левая часть равна

$$abc+abc+abc=3abc.$$

Следовательно,

$$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}=3.$$

Ответ

$$3$$