Упр.37.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

37. Числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ таковы, что $$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}=\frac{3}{2}$$. Найдите значение выражения $$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}$$.

Обозначим

$$x=\frac{1}{a-b},\quad y=\frac{1}{b-c},\quad z=\frac{1}{c-a}.$$

Тогда по условию

$$x+y+z=\frac{3}{2}.$$

Нужно найти

$$x^2+y^2+z^2.$$

Используем формулу

$$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx).$$

Найдём сумму попарных произведений:

$$xy+yz+zx=\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}.$$

Приведём к общему виду:

$$\frac{(c-a)+(a-b)+(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0,$$

так как числитель равен нулю.

Значит,

$$x^2+y^2+z^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2-2\cdot 0=\frac{9}{4}.$$

Ответ

$$\frac{9}{4}$$