Упр.37.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 37.38. Числа a, b и c таковы, что 1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)=3/2. Найдите значение выражения 1/(a-b)^2 +1/(b-c)^2 +1/(c-a)^2 . *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 37-38 715

Обозначим

$$x=\frac{1}{a-b},\quad y=\frac{1}{b-c},\quad z=\frac{1}{c-a}.$$

Тогда по условию

$$x+y+z=\frac{3}{2}.$$

Нужно найти

$$x^2+y^2+z^2.$$

Используем формулу

$$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx).$$

Найдём сумму попарных произведений:

$$xy+yz+zx=\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}.$$

Приведём к общему виду:

$$\frac{(c-a)+(a-b)+(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0,$$

так как числитель равен нулю.

Значит,

$$x^2+y^2+z^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2-2\cdot 0=\frac{9}{4}.$$

Ответ

$$\frac{9}{4}$$