Упр.37.36 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 37.36. Числа a, b и c таковы, что (a-b)/(a+b)+(b-c)/(b+c)+(c-a)/(c+a)=0. Докажите, что одно из слагаемых в левой части равно 0.

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$ \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=0 $$

$$ \frac{(a-b)(b+c)(c+a)+(b-c)(a+b)(c+a)+(c-a)(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=0 $$

Так как знаменатель не равен нулю, то достаточно рассмотреть числитель:

$$ (a-b)(b+c)(c+a)+(b-c)(a+b)(c+a)+(c-a)(a+b)(b+c)=0 $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ (c+a)\bigl((a-b)(b+c)+(b-c)(a+b)\bigr)+(c-a)(a+b)(b+c)=0 $$

Раскроем скобки в первой группе:

$$ (a-b)(b+c)+(b-c)(a+b)=ab+ac-b^2-bc+ab+b^2-ac-bc=2ab-2bc $$

Тогда

$$ (c+a)(2ab-2bc)+(c-a)(a+b)(b+c)=0 $$

$$ 2b(c+a)(a-c)-(a-c)(a+b)(b+c)=0 $$

$$ (a-c)\bigl(2b(c+a)-(a+b)(b+c)\bigr)=0 $$

Упростим выражение в скобках:

$$ 2b(c+a)-(a+b)(b+c)=2bc+2ab-ab-ac-b^2-bc=bc+ab-ac-b^2 $$

$$ bc+ab-ac-b^2=(a-c)(b-c) $$

Значит,

$$ (a-c)(a-b)(b-c)=0 $$

Следовательно, хотя бы один из множителей равен нулю:

$$ a-c=0 \quad \text{или} \quad a-b=0 \quad \text{или} \quad b-c=0. $$

То есть одно из слагаемых исходной суммы равно нулю.

Ответ

Одно из слагаемых равно $0$.