Упр.37.36 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

37. 36. Числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ таковы, что $$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=0$$. Докажите, что одно из слагаемых в левой части равно $$0$$.

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=0$$

$$\frac{(a-b)(b+c)(c+a)+(b-c)(a+b)(c+a)+(c-a)(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=0$$

Так как знаменатель не равен нулю, то достаточно рассмотреть числитель:

$$(a-b)(b+c)(c+a)+(b-c)(a+b)(c+a)+(c-a)(a+b)(b+c)=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(c+a)\bigl((a-b)(b+c)+(b-c)(a+b)\bigr)+(c-a)(a+b)(b+c)=0$$

Раскроем скобки в первой группе:

$$(a-b)(b+c)+(b-c)(a+b)=ab+ac-b^2-bc+ab+b^2-ac-bc=2ab-2bc$$

Тогда

$$(c+a)(2ab-2bc)+(c-a)(a+b)(b+c)=0$$

$$2b(c+a)(a-c)-(a-c)(a+b)(b+c)=0$$

$$(a-c)\bigl(2b(c+a)-(a+b)(b+c)\bigr)=0$$

Упростим выражение в скобках:

$$2b(c+a)-(a+b)(b+c)=2bc+2ab-ab-ac-b^2-bc=bc+ab-ac-b^2$$

$$bc+ab-ac-b^2=(a-c)(b-c)$$

Значит,

$$(a-c)(a-b)(b-c)=0$$

Следовательно, хотя бы один из множителей равен нулю:

$$a-c=0 \quad \text{или} \quad a-b=0 \quad \text{или} \quad b-c=0.$$

То есть одно из слагаемых исходной суммы равно нулю.

Ответ

Одно из слагаемых равно $$0$$.