Упр.37.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 37.35. Найдите значение выражения 1/(x^2+1)+1/(y^2+1)+2/(xy+1), если 1/(x^2+1)+1/(y^2+1)=2/(xy+1) и x?y. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 37-35 715

Обозначим

$$A=\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}.$$

По условию

$$A=\frac{2}{xy+1}.$$

Тогда искомое выражение равно

$$A+\frac{2}{xy+1}=\frac{2}{xy+1}+\frac{2}{xy+1}=\frac{4}{xy+1}.$$

Из равенства

$$\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}=\frac{2}{xy+1}$$

получаем

$$\frac{(x^2+1)+(y^2+1)}{(x^2+1)(y^2+1)}=\frac{2}{xy+1}.$$

После преобразований это равенство выполняется при $$xy=1$$, так как $$x\ne y$$.

Тогда

$$\frac{4}{xy+1}=\frac{4}{1+1}=2.$$

Ответ

$$2$$