Упр.37.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 37.35. Найдите значение выражения $$\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{2}{xy+1}$$, если $$\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}=\frac{2}{xy+1}$$ и $$x\ne y$$.

Обозначим

$$A=\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}.$$

По условию

$$A=\frac{2}{xy+1}.$$

Тогда искомое выражение равно

$$A+\frac{2}{xy+1}=\frac{2}{xy+1}+\frac{2}{xy+1}=\frac{4}{xy+1}.$$

Из равенства

$$\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}=\frac{2}{xy+1}$$

получаем

$$\frac{(x^2+1)+(y^2+1)}{(x^2+1)(y^2+1)}=\frac{2}{xy+1}.$$

После преобразований это равенство выполняется при $$xy=1$$, так как $$x\ne y$$.

Тогда

$$\frac{4}{xy+1}=\frac{4}{1+1}=2.$$

Ответ

$$2$$