Упр.37.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

37. 34. Числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ таковы, что $$\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$. Докажите, что $$\frac{1}{a^3+b^3+c^3}=\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}$$.

Из условия

$$\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$$

Приведём правую часть к общему знаменателю:

$$\frac{1}{a+b+c}=\frac{bc+ac+ab}{abc}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$abc=(bc+ac+ab)(a+b+c).$$

Раскроем скобки:

$$abc=abc+b^2c+bc^2+a^2c+abc+ac^2+a^2b+ab^2+abc.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$0=a^2c+ac^2+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+2abc.$$

Сгруппируем:

$$0=(a+c)(ab+bc+ac+b^2).$$

Удобнее записать это так:

$$0=(a+b)(b+c)(c+a).$$

Так как знаменатели в исходном равенстве не равны нулю, то

$$a+b=0 \quad \text{или} \quad b+c=0 \quad \text{или} \quad c+a=0.$$

Рассмотрим каждый случай.

1) Если $$a=-b,$$ то

$$a^3+b^3+c^3=(-b)^3+b^3+c^3=c^3,$$

и тогда

$$\frac{1}{a^3+b^3+c^3}=\frac{1}{c^3}=\frac{1}{(-b)^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}.$$

2) Если $$b=-c,$$ то

$$a^3+b^3+c^3=a^3,$$

значит

$$\frac{1}{a^3+b^3+c^3}=\frac{1}{a^3}=\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{(-b)^3}.$$

3) Если $$c=-a,$$ то

$$a^3+b^3+c^3=b^3,$$

и потому

$$\frac{1}{a^3+b^3+c^3}=\frac{1}{b^3}=\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{(-a)^3}.$$

Во всех случаях получаем

$$\frac{1}{a^3+b^3+c^3}=\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}.$$

Ответ

Доказано.