Упр.37.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 37.33. Докажите, что если $$\frac{a+b+c}{a+b-c}=\frac{a-b+c}{a-b-c}$$, то $$b=0$$ или $$c=0$$.

Преобразуем разность дробей:

$$\frac{a+b+c}{a+b-c}-\frac{a-b+c}{a-b-c}=0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(a+b+c)(a-b-c)-(a-b+c)(a+b-c)}{(a+b-c)(a-b-c)}=0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(a+b+c)(a-b-c)=a^2-(b+c)^2$$

$$(a-b+c)(a+b-c)=a^2-(b-c)^2$$

Тогда

$$\frac{\bigl(a^2-(b+c)^2\bigr)-\bigl(a^2-(b-c)^2\bigr)}{(a+b-c)(a-b-c)}=0$$

$$\frac{-(b^2+2bc+c^2)+ (b^2-2bc+c^2)}{(a+b-c)(a-b-c)}=0$$

$$\frac{-4bc}{(a+b-c)(a-b-c)}=0$$

Так как знаменатель не равен нулю, то дробь равна нулю только при нулевом числителе:

$$-4bc=0$$

Следовательно,

$$b=0 \text{ или } c=0.$$

Ответ

$$b=0 \text{ или } c=0$$