Упр.37.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 37.33. Докажите, что если (a+b+c)/(a+b-c)=(a-b+c)/(a-b-c), то b=0 или c=0.

Преобразуем разность дробей:

$$ \frac{a+b+c}{a+b-c}-\frac{a-b+c}{a-b-c}=0 $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{(a+b+c)(a-b-c)-(a-b+c)(a+b-c)}{(a+b-c)(a-b-c)}=0 $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ (a+b+c)(a-b-c)=a^2-(b+c)^2 $$

$$ (a-b+c)(a+b-c)=a^2-(b-c)^2 $$

Тогда

$$ \frac{\bigl(a^2-(b+c)^2\bigr)-\bigl(a^2-(b-c)^2\bigr)}{(a+b-c)(a-b-c)}=0 $$

$$ \frac{-(b^2+2bc+c^2)+ (b^2-2bc+c^2)}{(a+b-c)(a-b-c)}=0 $$

$$ \frac{-4bc}{(a+b-c)(a-b-c)}=0 $$

Так как знаменатель не равен нулю, то дробь равна нулю только при нулевом числителе:

$$ -4bc=0 $$

Следовательно,

$$ b=0 \text{ или } c=0. $$

Ответ

$$ b=0 \text{ или } c=0 $$