Упр.37.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 37.31. Докажите тождество: $$\frac{3}{1-a^2}+\frac{3}{1+a^2}+\frac{6}{1+a^4}+\frac{12}{1+a^8}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{48}{1-a^{32}}.$$

Преобразуем левую часть, последовательно приводя дроби к общему виду:

$$\frac{3}{1-a^2}+\frac{3}{1+a^2} = \frac{3(1+a^2)+3(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} = \frac{6}{1-a^4}.$$

Тогда

$$\frac{6}{1-a^4}+\frac{6}{1+a^4} = \frac{6(1+a^4)+6(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)} = \frac{12}{1-a^8}.$$

Далее

$$\frac{12}{1-a^8}+\frac{12}{1+a^8} = \frac{12(1+a^8)+12(1-a^8)}{(1-a^8)(1+a^8)} = \frac{24}{1-a^{16}}.$$

И, наконец,

$$\frac{24}{1-a^{16}}+\frac{24}{1+a^{16}} = \frac{24(1+a^{16})+24(1-a^{16})}{(1-a^{16})(1+a^{16})} = \frac{48}{1-a^{32}}.$$

Следовательно,

$$\frac{3}{1-a^2}+\frac{3}{1+a^2}+\frac{6}{1+a^4}+\frac{12}{1+a^8}+\frac{24}{1+a^{16}} = \frac{48}{1-a^{32}}.$$

Ответ

$$\frac{3}{1-a^2}+\frac{3}{1+a^2}+\frac{6}{1+a^4}+\frac{12}{1+a^8}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{48}{1-a^{32}}.$$