Упр.37.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)
- 30. Докажите тождество: $$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}.$$
Преобразуем левую часть, последовательно приводя дроби к общему виду:
$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a} =\frac{(1+a)+(1-a)}{(1-a)(1+a)} =\frac{2}{1-a^2}.$$
Тогда
$$\frac{2}{1-a^2}+\frac{2}{1+a^2} =\frac{2(1+a^2)+2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} =\frac{4}{1-a^4}.$$
Далее:
$$\frac{4}{1-a^4}+\frac{4}{1+a^4} =\frac{4(1+a^4)+4(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)} =\frac{8}{1-a^8}.$$
Аналогично:
$$\frac{8}{1-a^8}+\frac{8}{1+a^8} =\frac{16}{1-a^{16}},$$
$$\frac{16}{1-a^{16}}+\frac{16}{1+a^{16}} =\frac{32}{1-a^{32}}.$$
Следовательно,
$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}} =\frac{32}{1-a^{32}}.$$
Ответ
$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}.$$
