Упр.37.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

37. Числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ таковы, что $$\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=-\frac{1}{30}$$. Найдите значение выражения:
    
    1) $$\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$$;
    
    2) $$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$$.

Используем тождество

$$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=\frac{1}{30}.$$

1) Найдём

$$\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}.$$

Преобразуем каждую дробь:

$$\frac{b}{a+b}=\frac{(a+b)-a}{a+b}=1-\frac{a}{a+b}, \quad \frac{c}{b+c}=1-\frac{b}{b+c}, \quad \frac{a}{c+a}=1-\frac{c}{c+a}.$$

Тогда

$$\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a} =3-\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right).$$

Но

$$\frac{a}{a+b}=1-\frac{b}{a+b},\quad \frac{b}{b+c}=1-\frac{c}{b+c},\quad \frac{c}{c+a}=1-\frac{a}{c+a},$$

значит

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} =3-\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\right).$$

Обозначим

$$x=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}.$$

Тогда

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=3-x.$$

С другой стороны, из условия задачи 37.36 получаем

$$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=\frac{1}{30}.$$

Запишем:

$$\left(\frac{a-b}{a+b}-1\right)+\left(\frac{b-c}{b+c}-1\right)+\left(\frac{c-a}{c+a}-1\right) =\frac{1}{30}-3.$$

Тогда

$$-\frac{2b}{a+b}-\frac{2c}{b+c}-\frac{2a}{c+a}=-\frac{89}{30},$$

откуда

$$-2x=-\frac{89}{30}, \quad x=\frac{89}{60}.$$

2) Найдём

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}.$$

Из равенства

$$\frac{a}{a+b}=1-\frac{b}{a+b},\quad \frac{b}{b+c}=1-\frac{c}{b+c},\quad \frac{c}{c+a}=1-\frac{a}{c+a}$$

получаем

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} =3-\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\right) =3-\frac{89}{60} =\frac{91}{60}.$$

Ответ

1) $$\frac{89}{60}$$; 2) $$\frac{91}{60}$$.