Упр.37.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1) b/(a+b)+c/(b+c)+a/(c+a); 2) a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a).

Используем тождество

$$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=\frac{1}{30}.$$

1) Найдём

$$\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}.$$

Преобразуем каждую дробь:

$$ \frac{b}{a+b}=\frac{(a+b)-a}{a+b}=1-\frac{a}{a+b}, \quad \frac{c}{b+c}=1-\frac{b}{b+c}, \quad \frac{a}{c+a}=1-\frac{c}{c+a}. $$

Тогда

$$ \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a} =3-\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right). $$

Но

$$ \frac{a}{a+b}=1-\frac{b}{a+b},\quad \frac{b}{b+c}=1-\frac{c}{b+c},\quad \frac{c}{c+a}=1-\frac{a}{c+a}, $$

значит

$$ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} =3-\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\right). $$

Обозначим

$$ x=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}. $$

Тогда

$$ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=3-x. $$

С другой стороны, из условия задачи 37.36 получаем

$$ \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=\frac{1}{30}. $$

Запишем:

$$ \left(\frac{a-b}{a+b}-1\right)+\left(\frac{b-c}{b+c}-1\right)+\left(\frac{c-a}{c+a}-1\right) =\frac{1}{30}-3. $$

Тогда

$$ -\frac{2b}{a+b}-\frac{2c}{b+c}-\frac{2a}{c+a}=-\frac{89}{30}, $$

откуда

$$ -2x=-\frac{89}{30}, \quad x=\frac{89}{60}. $$

2) Найдём

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}.$$

Из равенства

$$ \frac{a}{a+b}=1-\frac{b}{a+b},\quad \frac{b}{b+c}=1-\frac{c}{b+c},\quad \frac{c}{c+a}=1-\frac{a}{c+a} $$

получаем

$$ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} =3-\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\right) =3-\frac{89}{60} =\frac{91}{60}. $$

Ответ

1) $$\frac{89}{60}$$; 2) $$\frac{91}{60}$$.