Упр.37.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

2/(x^2-1)+4/(x^2-4)+6/(x^2-9)+8/(x^2-16)=5(1/(x-1)(x+4) +1/(x-2)(x+3) +1/(x-3)(x+2) +1/(x-4)(x+1) ).

Преобразуем левую часть:

$$ \frac{2}{x^2-1}+\frac{4}{x^2-4}+\frac{6}{x^2-9}+\frac{8}{x^2-16} = \frac{2}{(x-1)(x+1)}+\frac{4}{(x-2)(x+2)}+\frac{6}{(x-3)(x+3)}+\frac{8}{(x-4)(x+4)}. $$

Представим каждую дробь в виде разности:

$$ \frac{2}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}, $$
$$ \frac{4}{(x-2)(x+2)}=2\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right), $$
$$ \frac{6}{(x-3)(x+3)}=3\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}\right), $$
$$ \frac{8}{(x-4)(x+4)}=4\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+4}\right). $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+4}\right) +\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}\right) +\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}\right) +\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+1}\right). $$

Приведём каждую скобку к общему знаменателю:

$$ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+4}=\frac{5}{(x-1)(x+4)}, $$
$$ \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}=\frac{5}{(x-2)(x+3)}, $$
$$ \frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}=\frac{5}{(x-3)(x+2)}, $$
$$ \frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+1}=\frac{5}{(x-4)(x+1)}. $$

Тогда

$$ \frac{2}{x^2-1}+\frac{4}{x^2-4}+\frac{6}{x^2-9}+\frac{8}{x^2-16} = 5\left( \frac{1}{(x-1)(x+4)}+\frac{1}{(x-2)(x+3)}+\frac{1}{(x-3)(x+2)}+\frac{1}{(x-4)(x+1)} \right). $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \frac{2}{x^2-1}+\frac{4}{x^2-4}+\frac{6}{x^2-9}+\frac{8}{x^2-16} = 5\left( \frac{1}{(x-1)(x+4)}+\frac{1}{(x-2)(x+3)}+\frac{1}{(x-3)(x+2)}+\frac{1}{(x-4)(x+1)} \right). $$