Упр.37.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)
- Докажите тождество: $$\frac{2}{x^2-1}+\frac{4}{x^2-4}+\frac{6}{x^2-9}+\frac{8}{x^2-16}=5\left(\frac{1}{(x-1)(x+4)}+\frac{1}{(x-2)(x+3)}+\frac{1}{(x-3)(x+2)}+\frac{1}{(x-4)(x+1)}\right).$$
Преобразуем левую часть:
$$\frac{2}{x^2-1}+\frac{4}{x^2-4}+\frac{6}{x^2-9}+\frac{8}{x^2-16} = \frac{2}{(x-1)(x+1)}+\frac{4}{(x-2)(x+2)}+\frac{6}{(x-3)(x+3)}+\frac{8}{(x-4)(x+4)}.$$
Представим каждую дробь в виде разности:
$$\frac{2}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1},$$
$$\frac{4}{(x-2)(x+2)}=2\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right),$$
$$\frac{6}{(x-3)(x+3)}=3\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}\right),$$
$$\frac{8}{(x-4)(x+4)}=4\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+4}\right).$$
Сгруппируем слагаемые:
$$\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+4}\right) +\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}\right) +\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}\right) +\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+1}\right).$$
Приведём каждую скобку к общему знаменателю:
$$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+4}=\frac{5}{(x-1)(x+4)},$$
$$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}=\frac{5}{(x-2)(x+3)},$$
$$\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}=\frac{5}{(x-3)(x+2)},$$
$$\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+1}=\frac{5}{(x-4)(x+1)}.$$
Тогда
$$\frac{2}{x^2-1}+\frac{4}{x^2-4}+\frac{6}{x^2-9}+\frac{8}{x^2-16} = 5\left( \frac{1}{(x-1)(x+4)}+\frac{1}{(x-2)(x+3)}+\frac{1}{(x-3)(x+2)}+\frac{1}{(x-4)(x+1)} \right).$$
Тождество доказано.
Ответ
$$\frac{2}{x^2-1}+\frac{4}{x^2-4}+\frac{6}{x^2-9}+\frac{8}{x^2-16} = 5\left( \frac{1}{(x-1)(x+4)}+\frac{1}{(x-2)(x+3)}+\frac{1}{(x-3)(x+2)}+\frac{1}{(x-4)(x+1)} \right).$$
