Упр.37.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

Упростите выражение:

1) $$\frac{1}{(a-1)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-5)}+\frac{1}{(a-5)(a-7)}$$;

2) $$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+5)}$$.

Подробный ответ

1) Представим каждую дробь в виде разности:

$$\frac{1}{(a-1)(a-3)}=\frac12\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a-3}\right),$$
$$\frac{1}{(a-3)(a-5)}=\frac12\left(\frac{1}{a-3}-\frac{1}{a-5}\right),$$
$$\frac{1}{(a-5)(a-7)}=\frac12\left(\frac{1}{a-5}-\frac{1}{a-7}\right).$$

Тогда

$$\frac{1}{(a-1)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-5)}+\frac{1}{(a-5)(a-7)}$$
$$=\frac12\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a-3}+\frac{1}{a-3}-\frac{1}{a-5}+\frac{1}{a-5}-\frac{1}{a-7}\right)$$
$$=\frac12\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a-7}\right) =\frac12\cdot\frac{a-7-(a-1)}{(a-1)(a-7)} =-\frac{3}{(a-1)(a-7)}.$$

2) Аналогично:

$$\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1},$$
$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2},$$
$$\frac{1}{(x+2)(x+3)}=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3},$$
$$\frac{1}{(x+3)(x+4)}=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4},$$
$$\frac{1}{(x+4)(x+5)}=\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}.$$

Складывая, получаем:

$$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+5)}$$
$$=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)+\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)+\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right)$$
$$+\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}\right)+\left(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}\right) =\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5} =\frac{5}{x(x+5)}.$$