Упр.37.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

1) 1/(a-1)(a-3) +1/(a-3)(a-5) +1/(a-5)(a-7) ;
2) 1/x(x+1) +1/(x+1)(x+2) +1/(x+2)(x+3) +1/(x+3)(x+4) +1/((x+4)(x+5)).

Подробный ответ

1) Представим каждую дробь в виде разности:

$$ \frac{1}{(a-1)(a-3)}=\frac12\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a-3}\right), $$
$$ \frac{1}{(a-3)(a-5)}=\frac12\left(\frac{1}{a-3}-\frac{1}{a-5}\right), $$
$$ \frac{1}{(a-5)(a-7)}=\frac12\left(\frac{1}{a-5}-\frac{1}{a-7}\right). $$

Тогда

$$ \frac{1}{(a-1)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-5)}+\frac{1}{(a-5)(a-7)} $$
$$ =\frac12\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a-3}+\frac{1}{a-3}-\frac{1}{a-5}+\frac{1}{a-5}-\frac{1}{a-7}\right) $$
$$ =\frac12\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a-7}\right) =\frac12\cdot\frac{a-7-(a-1)}{(a-1)(a-7)} =-\frac{3}{(a-1)(a-7)}. $$

2) Аналогично:

$$ \frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}, $$
$$ \frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}, $$
$$ \frac{1}{(x+2)(x+3)}=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}, $$
$$ \frac{1}{(x+3)(x+4)}=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}, $$
$$ \frac{1}{(x+4)(x+5)}=\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}. $$

Складывая, получаем:

$$ \frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+5)} $$
$$ =\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)+\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)+\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right) $$
$$ +\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}\right)+\left(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}\right) =\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5} =\frac{5}{x(x+5)}. $$